试题

平面直角坐标系中的梯形AOBC各顶点的坐标是A（0，4）、B（6，0）、C（4，4），过O、B、C三点的抛物线交AC于D，点P从O点出发，以每秒3个单位长度的速度向B运动，点Q同时从C出发，以每秒1个单位长度的速度向D运动．过Q作QM⊥AC交BD于M，连接PM．设运动时间为t秒（0≤t≤2）
（1）求直线BC的解析式；
（2）求D点的坐标；
（3）以P、Q、M为顶点的图形的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（4）当t为何值时，△PBM是直角三角形？直接写出t的值．

解：（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

6k+b=0 4k+b=4

，
解得

k=-2 b=12

；
∴y=-2x+12．

（2）∵抛物线同时经过O（0，0），B（6，0），
∴抛物线的对称轴为：x=3；
而CD∥x轴，且C、D都在抛物线的图象上，
所以C、D关于抛物线的对称轴对称，
即D（2，4）．

（3）如图，延长QM交x轴于N；
由题意知：CQ=t，DQ=2-t，OP=3t，ON=4-t；
当Q、M、P同线，即QP⊥x轴时，P、N重合；
此时OP+CQ=AC，即：
3t+t=4，
解得t=1；
①当P在N点左侧时，0≤t＜1；
PN=ON-OP=4-t-3t=4-4t，
故S=

1

2

QM·PN=

1

2

（2-t）（4-4t）=2t²-6t+4；
②当P在N点右侧时，1＜t＜2；
PN=OP-ON=3t-（4-t）=4t-4；
故S=

1

2

QM·PN=

1

2

（2-t）（4t-4）=-2t²+6t-4；
综上可知，S、t的函数关系式为：
S=2t²-6t+4（0≤t＜1）；
S=-2t²+6t-4（1＜t＜2）．

（4）易得∠OBD=∠BDC=45°，则BD=4

2

，DM=

2

（2-t）；
由于∠PBM＜90°，
因此分两种情况讨论：
①∠BPM=90°，即QP⊥OB，在（3）中已求得此时t=1；
②∠BMP=90°；
Rt△BPM中，∠PBM=45°，BP=6-3t，BM=4

2

-

2

（2-t）=2

2

+

2

t；
故BP=

2

BM，即6-3t=

2

（2

2

+

2

t），
解得t=0.4．
综上可知，当t=1或0.4时，△PMB是直角三角形．
解：（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

6k+b=0 4k+b=4

，
解得

k=-2 b=12

；
∴y=-2x+12．

（2）∵抛物线同时经过O（0，0），B（6，0），
∴抛物线的对称轴为：x=3；
而CD∥x轴，且C、D都在抛物线的图象上，
所以C、D关于抛物线的对称轴对称，
即D（2，4）．

（3）如图，延长QM交x轴于N；
由题意知：CQ=t，DQ=2-t，OP=3t，ON=4-t；
当Q、M、P同线，即QP⊥x轴时，P、N重合；
此时OP+CQ=AC，即：
3t+t=4，
解得t=1；
①当P在N点左侧时，0≤t＜1；
PN=ON-OP=4-t-3t=4-4t，
故S=

1

2

QM·PN=

1

2

（2-t）（4-4t）=2t²-6t+4；
②当P在N点右侧时，1＜t＜2；
PN=OP-ON=3t-（4-t）=4t-4；
故S=

1

2

QM·PN=

1

2

（2-t）（4t-4）=-2t²+6t-4；
综上可知，S、t的函数关系式为：
S=2t²-6t+4（0≤t＜1）；
S=-2t²+6t-4（1＜t＜2）．

（4）易得∠OBD=∠BDC=45°，则BD=4

2

，DM=

2

（2-t）；
由于∠PBM＜90°，
因此分两种情况讨论：
①∠BPM=90°，即QP⊥OB，在（3）中已求得此时t=1；
②∠BMP=90°；
Rt△BPM中，∠PBM=45°，BP=6-3t，BM=4

2

-

2

（2-t）=2

2

+

2

t；
故BP=

2

BM，即6-3t=

2

（2

2

+

2

t），
解得t=0.4．
综上可知，当t=1或0.4时，△PMB是直角三角形．