试题

如图，⊙O是圆木截面，四边形ABCD是从这个圆木锯下的木版横截面，其中AB为直径，AD=BC
（1）当∠BAD=75°，⊙O是半径为30cm时，求弧BC的长；
（2）求证：DC∥AB；
（3）设AD=x，⊙O是半径为20cm，求四边形ABCD的周长L关于x的函数关系式，并指出x为何值时，L取得最大值．

（1）解：连接OD、OC，由∠BAD=75°，OA=OD知∠AOD=30°，
∵AD=BC，
∴∠BOC=∠AOD=30°，
故

BC

的长为5πcm．

（2）证明：连接BD，∵AD=BC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴BC∥AD；

（3）解：过点D作DM⊥AB于M，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，
从而DC=AB-2AM=40-2AM．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
易得△DAM∽△BAD，
∴AM=

AD2

AB

=

x2

40

，
∴DC=40-

x2

20

，
∴L=2x+40-

x2

20

+40=-

1

20

x²+2x+80=-

1

20

（x-20）²+100，
其中0＜x＜20

2

，
∴当x=20时，L取得最大值100．
（1）解：连接OD、OC，由∠BAD=75°，OA=OD知∠AOD=30°，
∵AD=BC，
∴∠BOC=∠AOD=30°，
故

BC

的长为5πcm．

（2）证明：连接BD，∵AD=BC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴BC∥AD；

（3）解：过点D作DM⊥AB于M，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，
从而DC=AB-2AM=40-2AM．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
易得△DAM∽△BAD，
∴AM=

AD2

AB

=

x2

40

，
∴DC=40-

x2

20

，
∴L=2x+40-

x2

20

+40=-

1

20

x²+2x+80=-

1

20

（x-20）²+100，
其中0＜x＜20

2

，
∴当x=20时，L取得最大值100．