试题

如图，在平面直角坐标系中，点P从点A开始沿x轴向点O以1cm/s的速度移动，点Q从点O开始沿y轴向点B以2cm/s的速度移动，且OA=6cm，OB=12cm．如果P，Q分别从A，O同时出发．
（1）设△POQ的面积等于y，运动时间为x，写出y与x之间的函数关系，并求出面积的最大值；
（2）几秒后△POQ与△AOB相似；
（3）几秒后以PQ为直径的圆与直线AB相切．

解：（1）y=

1

2

（6-x）·2x=-x²+6x=-（x-3）²+9，y的最大值=9cm²．

（2）由于∠POQ=∠AOB=90°，如果△POQ与△AOB相似，无非两种情况：

OP

OA

=

OQ

OB

或

OP

OB

=

OQ

OA

．
由

2x

12

=

6-x

6

，得x=3；
由

2x

6

=

6-x

12

，得x=

6

5

．
即x=3s或x=

6

5

s．

（3）x=

6

5

s时以PQ为直径的圆与AB相切．
设以PQ为直径的圆与AB的切点为E；
∵BE²=BQ·BO=12（12-2x）
AE²=AP·AO=6x，又（AE+BE）²=OB²+OA²
∴（

12(12-2x)

+

6x

）²=12²+6²，
解之，得x=

6

5

s．
解：（1）y=

1

2

（6-x）·2x=-x²+6x=-（x-3）²+9，y的最大值=9cm²．

（2）由于∠POQ=∠AOB=90°，如果△POQ与△AOB相似，无非两种情况：

OP

OA

=

OQ

OB

或

OP

OB

=

OQ

OA

．
由

2x

12

=

6-x

6

，得x=3；
由

2x

6

=

6-x

12

，得x=

6

5

．
即x=3s或x=

6

5

s．

（3）x=

6

5

s时以PQ为直径的圆与AB相切．
设以PQ为直径的圆与AB的切点为E；
∵BE²=BQ·BO=12（12-2x）
AE²=AP·AO=6x，又（AE+BE）²=OB²+OA²
∴（

12(12-2x)

+

6x

）²=12²+6²，
解之，得x=

6

5

s．