试题

题目：
一次函数y=（k-
2
3
）x-3k+10（k为偶数）的图象经过第一、二、三象限，与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B作一直线与坐标轴围成的三角形面积为2，交x轴于点C．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若一开口向上的抛物线经过点A、B、C三点，求此抛物线的解析式；
（3）过（2）中的A、B、C三点作△ABC，求tan∠ABC的值．
答案
解：（1）由题意得：
k-
2
3
＞0
-3k+10＞0
，
解得，
2
3
＜k＜
10
3
，
又∵k为偶数，
∴k=2，
∴一次函数的解析式为y=
4
3
x+4．

（2）求得A（-3，0）、B（0，4），
∴OB=4，
∵S△BOC=
1
2
·OB·OC=2·OC=2，
∴OC=1，
∴C（1，0）或（-1，0）．
若取C（1，0）、A（-3，0）、B（0，4），设y=a（x+3）（x-1），
将B（0，4）代入，
解得a=-
4
3
＜0（舍去），
若取C（-1，0）、A（-3，0）、B（0，4），
设y=a（x+3）（x+1），将B（0，4）代入，
求得a=
4
3
，
∴抛物线为y=
4
3
x2+
16
3
x+4．青果学院

（3）如图，过C作CD⊥AB于D，则tan∠ABC=
DC
BD
，
∵sin∠BAO=
OB
AB
=
CD
AC
，cos∠BAO=
AO
AB
=
AD
AC
，
∴
CD
AC
=
4
5
，DC=
8
5
，
AD
AC
=
3
5
，AD=
6
5
，
∴BD=
19
5
，
∴tan∠ABC=
8
19
．
解：（1）由题意得：
k-
2
3
＞0
-3k+10＞0
，
解得，
2
3
＜k＜
10
3
，
又∵k为偶数，
∴k=2，
∴一次函数的解析式为y=
4
3
x+4．

（2）求得A（-3，0）、B（0，4），
∴OB=4，
∵S△BOC=
1
2
·OB·OC=2·OC=2，
∴OC=1，
∴C（1，0）或（-1，0）．
若取C（1，0）、A（-3，0）、B（0，4），设y=a（x+3）（x-1），
将B（0，4）代入，
解得a=-
4
3
＜0（舍去），
若取C（-1，0）、A（-3，0）、B（0，4），
设y=a（x+3）（x+1），将B（0，4）代入，
求得a=
4
3
，
∴抛物线为y=
4
3
x2+
16
3
x+4．青果学院

（3）如图，过C作CD⊥AB于D，则tan∠ABC=
DC
BD
，
∵sin∠BAO=
OB
AB
=
CD
AC
，cos∠BAO=
AO
AB
=
AD
AC
，
∴
CD
AC
=
4
5
，DC=
8
5
，
AD
AC
=
3
5
，AD=
6
5
，
∴BD=
19
5
，
∴tan∠ABC=
8
19
．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）求该一次函数y=（k-
2
3
）x-3k+10（k为偶数）的解析式，需求出k的值，根据图象经过第一、二、三象限，得到k的取值范围，确定k的值，得到一次函数的解析式为y=
4
3
x+4．
（2）求抛物线的解析式，可用待定系数法，需要求出A，B，C三点的坐标，
先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再由S△BOC=2，求出C点坐标．
（3）要求tan∠ABC的值，根据正切函数的定义，构造一个以∠ABC为内角的直角三角形，过C作CD⊥AB于D，则tan∠ABC=
DC
BD
．由于已知A、B、C三点的坐标，可根据三角函数的定义分别求出DC，AD的值，再算出BD的值．
本题主要考查一次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式，三角函数等知识．当已知三点的坐标，求抛物线的解析式时，可设三点式或者顶点式或者交点式，具体设哪一种形式比较简便，要视三点的坐标而定，本题用交点式比较简便．
综合题；压轴题．
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