试题

（2005·乌鲁木齐）四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC．在建立如图的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O点以每秒2个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP垂直于x轴于P点连接AC交NP于Q，连接MQ．
（1）写出C点的坐标；
（2）若动点N运动t秒，求Q点的坐标；（用含t的式子表示）
（3）其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（4）当t取何值时，△AMQ的面积最大；
（5）当t为何值时，△AMQ为等腰三角形．

解：（1）C（1，2）．

（2）过C作CE⊥x轴于E，则CE=2
当动点N运动t秒时，NB=t
∴点Q的横坐标为3-t
设Q点的纵坐标为y_Q
由PQ∥CE得

yQ

2

=

1+t

3

∴y_Q=

2+2t

3

∴点Q（3-t，

2+2t

3

）；

（3）点M以每秒2个单位运动，
∴OM=2t，AM=4-2t，
S_△AMQ=

1

2

AM·PQ=

1

2

·（4-2t）·

2+2t

3

=

2

3

（2-t）（t+1）
=-

2

3

（t²-t-2）
当t=2时，M运动到A点，△AMQ不存在，
∴t≠2，
∴t的取值范围是0≤t＜2；

（4）由S_△AMQ=-

2

3

（t²-t-2）=-

2

3

（t-

1

2

）²+

3

2

．
当t=

1

2

时，S_max=

3

2

；

（5）①若QM=QA
∵QP⊥OA，
∴MP=AP，
而MP=4-（1+t+2t）=3-3t，
即1+t=3-3t，
t=

1

2

，
∴当t=

1

2

时，△QMA为等腰三角形；
②若AQ=AM
AQ²=AP²+PQ²=（1+t）²+（

2+2t

3

）²=

13

9

（1+t）²AQ=

13

3

，
AM=4-2t

13

3

（1+t）=4-2t，
t=

85-18 13

23

而0＜

85-18 13

23

＜2，
∴当t=

85-18 13

23

时，△QMA为等腰三角形；
③若MQ=MA
MQ²=MP²+PQ²
=（3-3t）²+（

2+2t

3

）²=

85

9

t²-

154

9

t+

85

9

∴

85

9

t²-

154

9

t+

85

9

=（4-2t）²

49

9

t²-

10

9

t-

59

9

=0
解得t=

59

49

或t=-1（舍去）
∵0＜

59

49

＜2，
∴当t=

59

49

时，△QMA为等腰三角形；
综上所述：当t=

1

2

，t=

85-18 13

23

或t=

59

49

△QMA都为等腰三角形．
解：（1）C（1，2）．

（2）过C作CE⊥x轴于E，则CE=2
当动点N运动t秒时，NB=t
∴点Q的横坐标为3-t
设Q点的纵坐标为y_Q
由PQ∥CE得

yQ

2

=

1+t

3

∴y_Q=

2+2t

3

∴点Q（3-t，

2+2t

3

）；

（3）点M以每秒2个单位运动，
∴OM=2t，AM=4-2t，
S_△AMQ=

1

2

AM·PQ=

1

2

·（4-2t）·

2+2t

3

=

2

3

（2-t）（t+1）
=-

2

3

（t²-t-2）
当t=2时，M运动到A点，△AMQ不存在，
∴t≠2，
∴t的取值范围是0≤t＜2；

（4）由S_△AMQ=-

2

3

（t²-t-2）=-

2

3

（t-

1

2

）²+

3

2

．
当t=

1

2

时，S_max=

3

2

；

（5）①若QM=QA
∵QP⊥OA，
∴MP=AP，
而MP=4-（1+t+2t）=3-3t，
即1+t=3-3t，
t=

1

2

，
∴当t=

1

2

时，△QMA为等腰三角形；
②若AQ=AM
AQ²=AP²+PQ²=（1+t）²+（

2+2t

3

）²=

13

9

（1+t）²AQ=

13

3

，
AM=4-2t

13

3

（1+t）=4-2t，
t=

85-18 13

23

而0＜

85-18 13

23

＜2，
∴当t=

85-18 13

23

时，△QMA为等腰三角形；
③若MQ=MA
MQ²=MP²+PQ²
=（3-3t）²+（

2+2t

3

）²=

85

9

t²-

154

9

t+

85

9

∴

85

9

t²-

154

9

t+

85

9

=（4-2t）²

49

9

t²-

10

9

t-

59

9

=0
解得t=

59

49

或t=-1（舍去）
∵0＜

59

49

＜2，
∴当t=

59

49

时，△QMA为等腰三角形；
综上所述：当t=

1

2

，t=

85-18 13

23

或t=

59

49

△QMA都为等腰三角形．