试题

（2005·衢州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，顶点为点N．
（1）求过A、C两点直线的解析式；
（2）当点N在半圆M内时，求a的取值范围；
（3）过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F，B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．

解：（1）因为在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），
所以B（4，0），C（4，2），
设过A，C两点的直线解析式为y=kx+b，
把A，C两点代入得

k+b=0 4k+b=2

，
解得

k= 2 3 b=- 2 3

，
故过点A、C的直线的解析式为y=

2

3

x-

2

3

．

（2）由抛物线过A，B两点，可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4），
整理得，y=ax²-5ax+4a．
∴顶点N的坐标为（

5

2

，-

9a

4

）．
由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，又点N在半圆内，

1

2

＜-

9a

4

＜2，
解这个不等式，得-

8

9

＜a＜-

2

9

．

（3）设EF=x，则CF=x，BF=2-x，AF=2+x，AB=3，
在Rt△ABF中，由勾股定理AB²+BF²=AF²，
得x=

9

8

，BF=

7

8

，
①由△ABF∽△CMN得，

AB

CM

=

BF

MN

，即MN=

BF·CM

AB

=

7

16

．
当点N在CD的下方时，由-

9a

4

=2-

7

16

=

25

16

，求得N1（

5

2

，

25

16

）．
当点N在CD的上方时，由-

9a

4

=2+

7

16

=

39

16

，求得N ₂（

5

2

，

39

16

）．
②由△ABF∽△NMC得，

AB

NM

=

BF

MC

即MN=

AB·CM

BF

=

36

7

．
当点N在CD的下方时，由-

9a

4

=2-

36

7

=-

22

7

，求得N₃（

5

2

，-

22

7

）．
当点N在CD的上方时，由-

9a

4

=2+

36

7

=

50

7

，求得N₄（

5

2

，

50

7

）．
解：（1）因为在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），
所以B（4，0），C（4，2），
设过A，C两点的直线解析式为y=kx+b，
把A，C两点代入得

k+b=0 4k+b=2

，
解得

k= 2 3 b=- 2 3

，
故过点A、C的直线的解析式为y=

2

3

x-

2

3

．

（2）由抛物线过A，B两点，可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4），
整理得，y=ax²-5ax+4a．
∴顶点N的坐标为（

5

2

，-

9a

4

）．
由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，又点N在半圆内，

1

2

＜-

9a

4

＜2，
解这个不等式，得-

8

9

＜a＜-

2

9

．

（3）设EF=x，则CF=x，BF=2-x，AF=2+x，AB=3，
在Rt△ABF中，由勾股定理AB²+BF²=AF²，
得x=

9

8

，BF=

7

8

，
①由△ABF∽△CMN得，

AB

CM

=

BF

MN

，即MN=

BF·CM

AB

=

7

16

．
当点N在CD的下方时，由-

9a

4

=2-

7

16

=

25

16

，求得N1（

5

2

，

25

16

）．
当点N在CD的上方时，由-

9a

4

=2+

7

16

=

39

16

，求得N ₂（

5

2

，

39

16

）．
②由△ABF∽△NMC得，

AB

NM

=

BF

MC

即MN=

AB·CM

BF

=

36

7

．
当点N在CD的下方时，由-

9a

4

=2-

36

7

=-

22

7

，求得N₃（

5

2

，-

22

7

）．
当点N在CD的上方时，由-

9a

4

=2+

36

7

=

50

7

，求得N₄（

5

2

，

50

7

）．