试题

如图所示，边长为2的正方形OABC如图放置在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c过点A，B，且12a+5c=0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A开始沿AB边以每秒2个单位的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以每秒1个单位的速度向点C移动，设移动时间为t秒．当线段PQ的长取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形为平行四边形？如存在，求出点R的坐标；如不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，P、Q点在运动过程中，抛物线上是否还存在其它点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形为平行四边形？如存在，求出点R的坐标；如不存在，请说明理由．

解：（1）由题A（0，-2），B（2，-2）；
∴

c=-2 4a+2b+c=-2 12a+5c=0

∴

a= 5 6 b=- 5 3 c=-2

∴y=

5

6

x2-

5

3

x-2．（4分）

（2）由题AP=2t，BQ=t；
∴BP=2-2t，
Rt△PBQ中，
PQ²=PB²+BQ²=（2-2t）²+t²
=5t²-8t+4
=5(t-

4

5

)2+

4

5

；
当t=

4

5

时，PQ²取得最小值，
则PQ最小，此时P(

8

5

，-2)，Q(2，-

6

5

)；
假设符合条件的点R存在，
①过P作PR∥BQ，PR=BQ；
此时R（

8

5

，-

14

5

）或(

8

5

，-

6

5

)，
将其代入抛物线解析式，
知这两个点R均不在抛物线上；
②过Q作QR∥BP，QR=BP，
此时R（

12

5

，-

6

5

）或(

8

5

，-

6

5

)将其代入抛物线解析式，
知点（

12

5

，-

6

5

）在抛物线上，点(

8

5

，-

6

5

)不在抛物线上，
综上所述，存在符合条件的点R（

12

5

，-

6

5

）．（8分）

（3）易知：P（2t，-2），Q（2，t-2），
由于点R在抛物线上，
∴若存在以P，B，Q，R为顶点的平行四边形，只能有两种情况，
①平行四边形PRBQ此时PR∥BQ，PR=BQ；
∴R（2t，-2-t），
将其代入抛物线解析式得：

5

6

·(2t)2-

5

3

·2t-2=-2-t，
10t²-7t=-0，
t1=0(舍去)t2=

7

10

；
此时R(

7

5

，-

27

10

)；
②PQRB，此时QR∥PB，QR=PB；
∴R（4-2t，t-2），
将其代入抛物线解析式，

5

6

(4-2t)2-

5

3

(4-2t)-2=t-2；
10t²-33t+20=0，
∴t₁=2.5（舍去），t₂=0.8，
此时R（

12

5

，-

6

5

）；
综上所述，除（2）中的点R外，还存在点R(

7

5

，-

27

10

)．（12分）
解：（1）由题A（0，-2），B（2，-2）；
∴

c=-2 4a+2b+c=-2 12a+5c=0

∴

a= 5 6 b=- 5 3 c=-2

∴y=

5

6

x2-

5

3

x-2．（4分）

（2）由题AP=2t，BQ=t；
∴BP=2-2t，
Rt△PBQ中，
PQ²=PB²+BQ²=（2-2t）²+t²
=5t²-8t+4
=5(t-

4

5

)2+

4

5

；
当t=

4

5

时，PQ²取得最小值，
则PQ最小，此时P(

8

5

，-2)，Q(2，-

6

5

)；
假设符合条件的点R存在，
①过P作PR∥BQ，PR=BQ；
此时R（

8

5

，-

14

5

）或(

8

5

，-

6

5

)，
将其代入抛物线解析式，
知这两个点R均不在抛物线上；
②过Q作QR∥BP，QR=BP，
此时R（

12

5

，-

6

5

）或(

8

5

，-

6

5

)将其代入抛物线解析式，
知点（

12

5

，-

6

5

）在抛物线上，点(

8

5

，-

6

5

)不在抛物线上，
综上所述，存在符合条件的点R（

12

5

，-

6

5

）．（8分）

（3）易知：P（2t，-2），Q（2，t-2），
由于点R在抛物线上，
∴若存在以P，B，Q，R为顶点的平行四边形，只能有两种情况，
①平行四边形PRBQ此时PR∥BQ，PR=BQ；
∴R（2t，-2-t），
将其代入抛物线解析式得：

5

6

·(2t)2-

5

3

·2t-2=-2-t，
10t²-7t=-0，
t1=0(舍去)t2=

7

10

；
此时R(

7

5

，-

27

10

)；
②PQRB，此时QR∥PB，QR=PB；
∴R（4-2t，t-2），
将其代入抛物线解析式，

5

6

(4-2t)2-

5

3

(4-2t)-2=t-2；
10t²-33t+20=0，
∴t₁=2.5（舍去），t₂=0.8，
此时R（

12

5

，-

6

5

）；
综上所述，除（2）中的点R外，还存在点R(

7

5

，-

27

10

)．（12分）