试题

（2010·承德二模）如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值．

解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入y=x²-2x-3
得y=-3，
∴C（2，-3），
设直线AC的解析式是y=kx+b，
把A（-1，0），C（2，-3）代入得：

0=-k+b -3=2k+b

，
解得：k=-1，b=-1，
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1；

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3）
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

，
∴当x=

1

2

时，PE的最大值=

9

4

．
解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入y=x²-2x-3
得y=-3，
∴C（2，-3），
设直线AC的解析式是y=kx+b，
把A（-1，0），C（2，-3）代入得：

0=-k+b -3=2k+b

，
解得：k=-1，b=-1，
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1；

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3）
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

，
∴当x=

1

2

时，PE的最大值=

9

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．