试题

（2007·金东区模拟）如图，抛物线y=ax²-8ax+12a（a＜0）与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB是直角，且恰使△OCA∽△OBC．
（1）求：A、B两点坐标；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由ax²-8ax+12a=0（a＜0）
得x₁=2，x₂=6．
A、B两点坐标分别为：（2，0），（6，0）．

（2）由（1）知OA=2，OB=6．
又∵△OCA∽△OBC，
∴OC²=OA·OB=2×6．
∴OC=2

3

（-2

3

舍去）．
∴线段OC的长为2

3

．
∴

AC

BC

=

OA

OC

=

2

2 3

=

1

3

设AC=k，则BC=

3

k
由AC²+BC²=AB²得
k²+（

3

k）²=（6-2）²
解得k=2（-2舍去）
∵OA=AC=2，
∴AC=2，BC=2

3

=OC
过点C作CD⊥AB于点D，
∴OD=

1

2

OB=3
∴CD=

OC2-OD2

=

3

∴C的坐标为（3，

3

）
将C点的坐标代入抛物线的解析式得

3

=a（3-2）（3-6）
∴a=-

3

3

∴抛物线的函数关系式为：
y=-

3

3

x²+

8 3

3

x-4

3

．

（3）①当P₁与O重合时，△BCP₁为等腰三角形
∴P₁的坐标为（0，0）；
②当P₂B=BC时（P₂在B点的左侧），△BCP₂为等腰三角形
∴P₂的坐标为（6-2

3

，0）；
③当P₃为AB的中点时，P₃B=P₃C，△BCP₃为等腰三角形
∴P₃的坐标为（4，0）；
④当BP₄=BC时（P₄在B点的右侧），△BCP₄为等腰三角形
∴P₄的坐标为（6+2

3

，0）；
∴在x轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点P的坐标为：
（0，0），（6-2

3

，0），（4，0），（6+2

3

，0）．
解：（1）由ax²-8ax+12a=0（a＜0）
得x₁=2，x₂=6．
A、B两点坐标分别为：（2，0），（6，0）．

（2）由（1）知OA=2，OB=6．
又∵△OCA∽△OBC，
∴OC²=OA·OB=2×6．
∴OC=2

3

（-2

3

舍去）．
∴线段OC的长为2

3

．
∴

AC

BC

=

OA

OC

=

2

2 3

=

1

3

设AC=k，则BC=

3

k
由AC²+BC²=AB²得
k²+（

3

k）²=（6-2）²
解得k=2（-2舍去）
∵OA=AC=2，
∴AC=2，BC=2

3

=OC
过点C作CD⊥AB于点D，
∴OD=

1

2

OB=3
∴CD=

OC2-OD2

=

3

∴C的坐标为（3，

3

）
将C点的坐标代入抛物线的解析式得

3

=a（3-2）（3-6）
∴a=-

3

3

∴抛物线的函数关系式为：
y=-

3

3

x²+

8 3

3

x-4

3

．

（3）①当P₁与O重合时，△BCP₁为等腰三角形
∴P₁的坐标为（0，0）；
②当P₂B=BC时（P₂在B点的左侧），△BCP₂为等腰三角形
∴P₂的坐标为（6-2

3

，0）；
③当P₃为AB的中点时，P₃B=P₃C，△BCP₃为等腰三角形
∴P₃的坐标为（4，0）；
④当BP₄=BC时（P₄在B点的右侧），△BCP₄为等腰三角形
∴P₄的坐标为（6+2

3

，0）；
∴在x轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点P的坐标为：
（0，0），（6-2

3

，0），（4，0），（6+2

3

，0）．