试题

如图，抛物线y=-

5

4

x2+bx+c与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B(3，

5

2

)，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，
设OP的长度为m．
①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
②联结CM，BN，当m为何值时，四边形BCMN为平行四边形？

解：（1）∵抛物线y=-

5

4

x2+bx+c与y轴交于点A（0，1），B(3，

5

2

)，
∴

c=1 - 5 4 ×9+3b+1= 5 2

，
解得：

c=1 b= 17 4

，
∴y=-

5

4

x²+

17

4

x+1；

（2）①设直线的解析式是y=kx+b，
∵直线AB过点A（0，1）和B(3，

5

2

)，
∴

b=1 3k+b= 5 2

，
解得：

b=1 k= 1 2

，
∴直线AB的解析式为y=

1

2

x+1，
∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP=m，
∴P（m，0），M（m，

1

2

m+1），
∴PM=

1

2

m+1；
②根据抛物线的解析式和P点的坐标可得：N（m，-

5

4

m²+

17

4

m+1），MN∥BC，
∴当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形，
1、当点P在线段OC上时，MN=-

5

4

m²+

15

4

m，
又∵BC=

5

2

，
∴-

5

4

m²+

15

4

m=

5

2

，
解得m₁=1，m₂=2；
2、当点P在线段OC的延长线上时，MN=

5

4

m²-

15

4

m，
∴

5

4

m²-

15

4

m=

5

2

，
解得：m₁=

3- 17

2

（不合题意，舍去），m₂=

3+ 17

2

；
综上所述，当m的值为1或2或

3+ 17

2

时，四边形BCMN是平行四边形．
解：（1）∵抛物线y=-

5

4

x2+bx+c与y轴交于点A（0，1），B(3，

5

2

)，
∴

c=1 - 5 4 ×9+3b+1= 5 2

，
解得：

c=1 b= 17 4

，
∴y=-

5

4

x²+

17

4

x+1；

（2）①设直线的解析式是y=kx+b，
∵直线AB过点A（0，1）和B(3，

5

2

)，
∴

b=1 3k+b= 5 2

，
解得：

b=1 k= 1 2

，
∴直线AB的解析式为y=

1

2

x+1，
∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP=m，
∴P（m，0），M（m，

1

2

m+1），
∴PM=

1

2

m+1；
②根据抛物线的解析式和P点的坐标可得：N（m，-

5

4

m²+

17

4

m+1），MN∥BC，
∴当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形，
1、当点P在线段OC上时，MN=-

5

4

m²+

15

4

m，
又∵BC=

5

2

，
∴-

5

4

m²+

15

4

m=

5

2

，
解得m₁=1，m₂=2；
2、当点P在线段OC的延长线上时，MN=

5

4

m²-

15

4

m，
∴

5

4

m²-

15

4

m=

5

2

，
解得：m₁=

3- 17

2

（不合题意，舍去），m₂=

3+ 17

2

；
综上所述，当m的值为1或2或

3+ 17

2

时，四边形BCMN是平行四边形．