试题

如图，已知抛物线y=-

1

2

x2+bx+c经过A（2，0）、B（0，-6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，连接AB、AD，求△ABD的面积．

解：（1）将A（2，0）、B（0，-6）代入y=-

1

2

x2+bx+c中可得：

- 1 2 ×22+2b+c=0 c=-6

，
解得：

b=4 c=-6

则该抛物线的解析式为：y=-

1

2

x2+4x-6．（2分）
抛物线对称轴为x=-

4

2×(- 1 2 )

=4．（3分）
∴C（4，0）（4分）
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）将B（0，-6），C（4，0）代入求得：

b=-6 4k+b=0

，
解得：

k= 3 2 b=-6

，
∴直线BC的解析式为y=

3

2

x-6．（6分）

（2）将两函数解析式联立得：

y= 3 2 x-6 y=- 1 2 x2+4x-6

，
解得

x=5 y= 3 2

，
∴D（5，

3

2

） （8分）
S△ABD=S△ACD+S△ACB=

1

2

×2×

3

2

+

1

2

×2×6=

15

2

．（10分）
解：（1）将A（2，0）、B（0，-6）代入y=-

1

2

x2+bx+c中可得：

- 1 2 ×22+2b+c=0 c=-6

，
解得：

b=4 c=-6

则该抛物线的解析式为：y=-

1

2

x2+4x-6．（2分）
抛物线对称轴为x=-

4

2×(- 1 2 )

=4．（3分）
∴C（4，0）（4分）
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）将B（0，-6），C（4，0）代入求得：

b=-6 4k+b=0

，
解得：

k= 3 2 b=-6

，
∴直线BC的解析式为y=

3

2

x-6．（6分）

（2）将两函数解析式联立得：

y= 3 2 x-6 y=- 1 2 x2+4x-6

，
解得

x=5 y= 3 2

，
∴D（5，

3

2

） （8分）
S△ABD=S△ACD+S△ACB=

1

2

×2×

3

2

+

1

2

×2×6=

15

2

．（10分）