试题

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为P（-4，-

25

2

），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为（1，0）．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点Q使得△ADQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线顶点坐标为（-4，-

25

2

），
∴设抛物线解析式为y=a（x+4）²-

25

2

，
∵抛物线过点B（1，0），
∴a（1+4）²-

25

2

=0，
解得a=

1

2

，
所以，抛物线解析式为y=

1

2

（x+4）²-

25

2

，
即y=

1

2

x²+4x-

9

2

；

（2）存在点Q₁（-1，-4），Q₂（2

5

-9，-

5

），Q₃（-

13

2

，-

5

4

）．
理由如下：∵抛物线顶点坐标为（-4，-

25

2

），
∴点D的坐标为（-4，0），
令x=0，则y=-

9

2

，
令y=0，则

1

2

x²+4x-

9

2

=0，
整理得，x²+8x-9=0，
解得x₁=1，x₂=-9，
∴点A（-9，0），C（0，-

9

2

），
∴OA=9，OC=

9

2

，AD=-4-（-9）=-4+9=5，
在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC=

OA2+OC2

=

92+( 9 2 )2

=

9 5

2

，
∴sin∠OAC=

OC

AC

=

9 2

9 5 2

=

5

5

，
cos∠OAC=

OA

AC

=

9

9 5 2

=

2 5

5

，
①AD=Q₁D时，过Q₁作Q₁E₁⊥x轴于点E₁，
根据等腰三角形三线合一的性质，AQ₁=2·ADcos∠OAC=2×5×

2 5

5

=4

5

，
Q₁E₁=AQ₁·sin∠OAC=4

5

×

5

5

=4，
AE₁=AQ₁·cos∠OAC=4

5

×

2 5

5

=8，
所以，OE₁=OA-AE₁=9-8=1，
所以，点Q₁的坐标为（-1，-4）；
②AD=AQ₂时，过Q₂作Q₂E₂⊥x轴于点E₂，
Q₂E₂=AQ₂·sin∠OAC=5×

5

5

=

5

，
AE₂=AQ₂·cos∠OAC=5×

2 5

5

=2

5

，
所以，OE₂=OA-AE₂=9-2

5

，
所以，点Q₂的坐标为（2

5

-9，-

5

）；
③AQ₃=DQ₃时，过Q₃作Q₃E₃⊥x轴于点E₃，
则AE₃=

1

2

AD=

1

2

×5=

5

2

，
所以，OE₃=9-

5

2

=

13

2

，
∵Q₃E₃⊥x轴，OC⊥OA，
∴△AQ₃E₃∽△ACO，
∴

Q3E3

AE3

=

OC

OA

，
即

Q3E3

5 2

=

9 2

9

，
解得Q₃E₃=

5

4

，
所以，点Q₃的坐标为（-

13

2

，-

5

4

），
综上所述，在线段AC上存在点Q₁（-1，-4），Q₂（2

5

-9，-

5

），Q₃（-

13

2

，-

5

4

），使得△ADQ为等腰三角形．
解：（1）∵抛物线顶点坐标为（-4，-

25

2

），
∴设抛物线解析式为y=a（x+4）²-

25

2

，
∵抛物线过点B（1，0），
∴a（1+4）²-

25

2

=0，
解得a=

1

2

，
所以，抛物线解析式为y=

1

2

（x+4）²-

25

2

，
即y=

1

2

x²+4x-

9

2

；

（2）存在点Q₁（-1，-4），Q₂（2

5

-9，-

5

），Q₃（-

13

2

，-

5

4

）．
理由如下：∵抛物线顶点坐标为（-4，-

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2

），
∴点D的坐标为（-4，0），
令x=0，则y=-

9

2

，
令y=0，则

1

2

x²+4x-

9

2

=0，
整理得，x²+8x-9=0，
解得x₁=1，x₂=-9，
∴点A（-9，0），C（0，-

9

2

），
∴OA=9，OC=

9

2

，AD=-4-（-9）=-4+9=5，
在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC=

OA2+OC2

=

92+( 9 2 )2

=

9 5

2

，
∴sin∠OAC=

OC

AC

=

9 2

9 5 2

=

5

5

，
cos∠OAC=

OA

AC

=

9

9 5 2

=

2 5

5

，
①AD=Q₁D时，过Q₁作Q₁E₁⊥x轴于点E₁，
根据等腰三角形三线合一的性质，AQ₁=2·ADcos∠OAC=2×5×

2 5

5

=4

5

，
Q₁E₁=AQ₁·sin∠OAC=4

5

×

5

5

=4，
AE₁=AQ₁·cos∠OAC=4

5

×

2 5

5

=8，
所以，OE₁=OA-AE₁=9-8=1，
所以，点Q₁的坐标为（-1，-4）；
②AD=AQ₂时，过Q₂作Q₂E₂⊥x轴于点E₂，
Q₂E₂=AQ₂·sin∠OAC=5×

5

5

=

5

，
AE₂=AQ₂·cos∠OAC=5×

2 5

5

=2

5

，
所以，OE₂=OA-AE₂=9-2

5

，
所以，点Q₂的坐标为（2

5

-9，-

5

）；
③AQ₃=DQ₃时，过Q₃作Q₃E₃⊥x轴于点E₃，
则AE₃=

1

2

AD=

1

2

×5=

5

2

，
所以，OE₃=9-

5

2

=

13

2

，
∵Q₃E₃⊥x轴，OC⊥OA，
∴△AQ₃E₃∽△ACO，
∴

Q3E3

AE3

=

OC

OA

，
即

Q3E3

5 2

=

9 2

9

，
解得Q₃E₃=

5

4

，
所以，点Q₃的坐标为（-

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2

，-

5

4

），
综上所述，在线段AC上存在点Q₁（-1，-4），Q₂（2

5

-9，-

5

），Q₃（-

13

2

，-

5

4

），使得△ADQ为等腰三角形．