试题

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点M到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、P两点，OP=4；
（1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式；
（2）设点A是抛物线上位于O、M之间的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．
①当BC=1时，求矩形ABCD的周长l；
②试问矩形ABCD的周长l是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）连接OM、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点P外），使得△OMQ也是等腰三角形，简要说明你的理由（不必求出点Q的坐标）．

解：（1）∵OP=4，
∴

1

2

OP=

1

2

×4=2，
∴点P的坐标为（4，0），点M的坐标为（2，-4），
设抛物线的解析式是y=a（x-2）²-4，把P（4，0）代入得，
a（4-2）²-4=0，
解得a=1，
所以，抛物线的解析式是y=（x-2）²-4=x²-4x，
即y=x²-4x；

（2）①∵点B和点C关于抛物线的对称轴直线x=2对称，
∴OB=

4-1

2

=

3

2

，
把x=

3

2

代入y=x²-4x得，y=（

3

2

）²-4×

3

2

=-

15

4

，
∴点A的坐标为（

3

2

，-

15

4

），
∴AB=|-

15

4

|=

15

4

，
∴矩形ABCD的周长l=2（1+

15

4

）=

19

2

；

②设点A的坐标为（x，y），其中0＜x＜2，
则AD=BC=4-2x，AB=DC=|y|=|x²-4x|=4x-x²，
则矩形ABCD的周长l=2（AD+AB）=2（4-2x+4x-x²）=-2x²+4x+8=-2（x-1）²+10，
则当x=1时，l_最大值=10，
此时点A的坐标为（1，-3）；

（3）答：存在．
理由：作OM的中垂线一定能与抛物线相交，或以点O为圆心以OM为半径画弧能与抛物线相交，
交点即是所要找的Q点的位置．
解：（1）∵OP=4，
∴

1

2

OP=

1

2

×4=2，
∴点P的坐标为（4，0），点M的坐标为（2，-4），
设抛物线的解析式是y=a（x-2）²-4，把P（4，0）代入得，
a（4-2）²-4=0，
解得a=1，
所以，抛物线的解析式是y=（x-2）²-4=x²-4x，
即y=x²-4x；

（2）①∵点B和点C关于抛物线的对称轴直线x=2对称，
∴OB=

4-1

2

=

3

2

，
把x=

3

2

代入y=x²-4x得，y=（

3

2

）²-4×

3

2

=-

15

4

，
∴点A的坐标为（

3

2

，-

15

4

），
∴AB=|-

15

4

|=

15

4

，
∴矩形ABCD的周长l=2（1+

15

4

）=

19

2

；

②设点A的坐标为（x，y），其中0＜x＜2，
则AD=BC=4-2x，AB=DC=|y|=|x²-4x|=4x-x²，
则矩形ABCD的周长l=2（AD+AB）=2（4-2x+4x-x²）=-2x²+4x+8=-2（x-1）²+10，
则当x=1时，l_最大值=10，
此时点A的坐标为（1，-3）；

（3）答：存在．
理由：作OM的中垂线一定能与抛物线相交，或以点O为圆心以OM为半径画弧能与抛物线相交，
交点即是所要找的Q点的位置．