试题

（2004·宜昌）如图，已知点A（0，1），C（4，3），E（

15

4

，

23

8

），P是以AC为对角线的矩形ABCD内部（不在各边上）的一动点，点D在y轴上，抛物线y=ax²+bx+1以P为顶点．
（1）说明点A，C，E在一条直线上；
（2）能否判断抛物线y=ax²+bx+1的开口方向？请说明理由；
（3）设抛物线y=ax²+bx+1与x轴有交点F、G（F在G的左侧），△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，这时能确定a、b的值吗？若能，请求出a，b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．

解：（1）由题意，A（0，1）、C（4，3）两点确定的直线解析式为：y=

1

2

x+1（1分）
将点E的坐标（

15

4

，

23

8

），代入y=

1

2

x+1中，左边=

23

8

，右边=

1

2

×

15

4

+1=

23

8

．
∵左边=右边
∴点E在直线y=

1

2

x+1上，
即点A、C、E在一条直线上；（2分）

（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD的内部，
∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，
∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下．（3分）
解法二：
∵抛物线y=ax²+bx+1的顶点P的纵坐标为

4a-b2

4a

，且P在矩形ABCD的内部，
∴1＜

4a-b2

4a

＜3，由1＜1-

b2

4a

得-

b2

4a

＞0．
∴a＜0．
∴抛物线开口向下；（3分）

（3）连接GA、FA．
∵S_△GAO-S_△FAO=3
∴

1

2

GO·AO-

1

2

FO·AO=3．
∵OA=1，
∴GO-FO=6．
设F（x₁，0），G（x₂，0），
则x₁、x₂是方程ax²+bx+1=0的两个根，且x₁＜x₂，
又∵a＜0
∴x₁·x₂=

1

a

＜0，
∴x₁＜0＜x₂
∴GO=x₂、FO=-x₁
∴x₂-（-x₁）=6，即x₂+x₁=6
∵x₂+x₁=-

b

a

∴-

b

a

=6
∴b=-6a（5分）
∴抛物线的解析式为：y=ax²-6ax+1，其顶点P的坐标为（3，1-9a）
∵顶点P在矩形ABCD的内部，
∴1＜1-9a＜3，
∴-

2

9

＜a＜0①（6分）
由方程组

y=ax2-6ax+1 y= 1 2 x+1

，
得：ax²-（6a+

1

2

）x=0
∴x=0或x=

6a+ 1 2

a

=6+

1

2a

当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，
则有：0＜6+

1

2a

≤

15

4

，
解得：-

2

9

≤a＜-

1

12

②（8分）
综合①②，得-

2

9

＜a＜-

1

12

（9分）
∵b=-6a，
∴

1

2

＜b＜

4

3

．（10分）
解：（1）由题意，A（0，1）、C（4，3）两点确定的直线解析式为：y=

1

2

x+1（1分）
将点E的坐标（

15

4

，

23

8

），代入y=

1

2

x+1中，左边=

23

8

，右边=

1

2

×

15

4

+1=

23

8

．
∵左边=右边
∴点E在直线y=

1

2

x+1上，
即点A、C、E在一条直线上；（2分）

（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD的内部，
∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，
∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下．（3分）
解法二：
∵抛物线y=ax²+bx+1的顶点P的纵坐标为

4a-b2

4a

，且P在矩形ABCD的内部，
∴1＜

4a-b2

4a

＜3，由1＜1-

b2

4a

得-

b2

4a

＞0．
∴a＜0．
∴抛物线开口向下；（3分）

（3）连接GA、FA．
∵S_△GAO-S_△FAO=3
∴

1

2

GO·AO-

1

2

FO·AO=3．
∵OA=1，
∴GO-FO=6．
设F（x₁，0），G（x₂，0），
则x₁、x₂是方程ax²+bx+1=0的两个根，且x₁＜x₂，
又∵a＜0
∴x₁·x₂=

1

a

＜0，
∴x₁＜0＜x₂
∴GO=x₂、FO=-x₁
∴x₂-（-x₁）=6，即x₂+x₁=6
∵x₂+x₁=-

b

a

∴-

b

a

=6
∴b=-6a（5分）
∴抛物线的解析式为：y=ax²-6ax+1，其顶点P的坐标为（3，1-9a）
∵顶点P在矩形ABCD的内部，
∴1＜1-9a＜3，
∴-

2

9

＜a＜0①（6分）
由方程组

y=ax2-6ax+1 y= 1 2 x+1

，
得：ax²-（6a+

1

2

）x=0
∴x=0或x=

6a+ 1 2

a

=6+

1

2a

当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，
则有：0＜6+

1

2a

≤

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4

，
解得：-

2

9

≤a＜-

1

12

②（8分）
综合①②，得-

2

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＜a＜-

1

12

（9分）
∵b=-6a，
∴

1

2

＜b＜

4

3

．（10分）