试题

（2004·乌鲁木齐）已知抛物线y=-x²+（m-4）x+2m+4与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）与y轴交于点C，且x₁=-2x₂（x₁＜x₂），点A关于y轴的对称点为D．
（1）确定A，B，C三点的坐标；
（2）求过B，C，D三点的抛物线的解析式；
（3）若y=3与（2）小题中所求抛物线交于M，N，以MN为一边，抛物线上任一点P（x，y）为顶点作为平行四边形，若平行四边形面积为S，写出S与P点纵坐标y的函数关系式；
（4）当

1

3

＜x＜4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值？若有，请求出；若无，请说明理由．

解：（1）由题意得

x1+x2=m-4 x1·x2=-(2m+4) x1=-2x2

，
解得m=7或m=2，
当m=7时，x₁=-6，x₂=3，x₁+x₂=-3≠3，
故m=7不合题意，舍去；
当m=2时，x₁=-4，x₂=2；
即：A（-4，0），B（2，0），C（0，8）．

（2）D（4，0）；
设过三点的抛物线为y=ax²+bx+c，
则有

4a+2b+c=0 16a+4b+c=0 c=8

，
解得

a=1 b=-6 c=8

，
抛物线是y=x²-6x+8．

（3）∵抛物线y=x²-6x+8与直线y=3相交，
∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4，
而抛物线顶点为（3，-1），
当y＞0时，S=4|y-3|；
当-1≤y≤0时，S=12+4|y|．

（4）使以MN为一边，P（x，y）为顶点，且（

1

3

＜x＜4）的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离最大，所以满足条件的平行四边形的面积有最大值是16．
解：（1）由题意得

x1+x2=m-4 x1·x2=-(2m+4) x1=-2x2

，
解得m=7或m=2，
当m=7时，x₁=-6，x₂=3，x₁+x₂=-3≠3，
故m=7不合题意，舍去；
当m=2时，x₁=-4，x₂=2；
即：A（-4，0），B（2，0），C（0，8）．

（2）D（4，0）；
设过三点的抛物线为y=ax²+bx+c，
则有

4a+2b+c=0 16a+4b+c=0 c=8

，
解得

a=1 b=-6 c=8

，
抛物线是y=x²-6x+8．

（3）∵抛物线y=x²-6x+8与直线y=3相交，
∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4，
而抛物线顶点为（3，-1），
当y＞0时，S=4|y-3|；
当-1≤y≤0时，S=12+4|y|．

（4）使以MN为一边，P（x，y）为顶点，且（

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3

＜x＜4）的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离最大，所以满足条件的平行四边形的面积有最大值是16．