试题

（2004·呼和浩特）阅读下列材料：
如图1，⊙O₁和⊙O₂外切于点C，AB是⊙O₁和⊙O₂外公切线，A、B为切点，
求证：AC⊥BC
证明：过点C作⊙O₁和⊙O₂的内公切线交AB于D，
∵DA、DC是⊙O₁的切线
∴DA=DC．
∴∠DAC=∠DCA．
同理∠DCB=∠DBC．
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，
∴∠DCA+∠DCB=90°．
即AC⊥BC．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容；
（2）以AB所在直线为x轴，过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系（如图2），已知A、B两点的坐标为（-4，0），（1，0），求经过A、B、C三点的抛物线y=ax²+bx+c的函数解析式；
（3）根据（2）中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O₁O₂上，并说明理由．

解：（1）DA、DC是⊙O₁的切线，
∴DA=DC．应用的是切线长定理；
∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，应用的是三角形内角和定理．

（2）设C点坐标为（0，y），则AB²=AC²+BC²，
即（|-4-1|）²=（-4）²+y²+1²+y²，
即25=17+2y²，解得y=2（舍去）或y=-2．
故C点坐标为（0，-2），
设经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式为y=ax²+bx+c，
则

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=-2

，
解得

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

，
故所求二次函数的解析式为y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（3）过C作两圆的公切线CD交AB于D，则AD=BD=CD，由A（-4，0），B（1，0）可知D（-

3

2

，0），
设过CD两点的直线为y=kx+b，则

- 3 2 k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 4 3 b=-2

，
故此一次函数的解析式为y=-

4

3

x-2，
∵过O₁，O₂的直线必过C点且与直线y=-

4

3

x-2垂直，
故过O₁，O₂的直线的解析式为y=-

3

4

x-2．
由（2）中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（

3

2

，-

25

8

），
代入直线解析式得-

3

4

×

3

2

-2=-

25

8

，故这条抛物线的顶点落在两圆的连心O₁O₂上．
解：（1）DA、DC是⊙O₁的切线，
∴DA=DC．应用的是切线长定理；
∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，应用的是三角形内角和定理．

（2）设C点坐标为（0，y），则AB²=AC²+BC²，
即（|-4-1|）²=（-4）²+y²+1²+y²，
即25=17+2y²，解得y=2（舍去）或y=-2．
故C点坐标为（0，-2），
设经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式为y=ax²+bx+c，
则

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=-2

，
解得

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

，
故所求二次函数的解析式为y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（3）过C作两圆的公切线CD交AB于D，则AD=BD=CD，由A（-4，0），B（1，0）可知D（-

3

2

，0），
设过CD两点的直线为y=kx+b，则

- 3 2 k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 4 3 b=-2

，
故此一次函数的解析式为y=-

4

3

x-2，
∵过O₁，O₂的直线必过C点且与直线y=-

4

3

x-2垂直，
故过O₁，O₂的直线的解析式为y=-

3

4

x-2．
由（2）中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（

3

2

，-

25

8

），
代入直线解析式得-

3

4

×

3

2

-2=-

25

8

，故这条抛物线的顶点落在两圆的连心O₁O₂上．