已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，2），以OA为直径作圆B．若点D是x轴上的一动点，连接AD交圆B于点C．（1）当tan∠DAO=frac{1}{2}时，...-青果题库-青果学院

题目：

（2004·海淀区）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，2），以OA为直径作圆B．若点D是x轴上的一动点，连接AD交圆B于点C．
（1）当tan∠DAO=

1

2

时，求直线BC的解析式；
（2）过点D作DP∥y轴与过B、C两点的直线交于点P，请任意求出三个符合条件的点P的坐标，并确定图象经过这三个点的二次函数的解析式；
（3）若点P满足（2）中的条件，点M的坐标为（-3，3），求线段PM与PB的和的最小值，并求出此时点P的坐标．

答案

解：（1）如图所示，当点D在x轴的正半轴上时，连接OC，过C点作CK⊥y轴于点K．
∵OA为圆B的直径，点C在圆B上
∴∠ACO=90°
∴∠1=∠2
∵tan∠1=

1

2

∴tan∠2=

1

2

设OK的长为x，则KC=2x，可得AK=4x
∵点A的坐标为（0，2），OK+KA=OA
∴点B的坐标为（0，1），5x=2
∴x=

2

5

∴KC=

4

5

∴点C的坐标为（

4

5

，

2

5

）
设直线BC的解析式为y=kx+1（k≠1），
得：

2

5

=

4

5

k+1
∴k=-

3

4

∴直线BC的解析式为y=-

3

4

x+1
当点D在x轴的负半轴上时，同理可得直线BC的解析式为y=

3

4

x+1
∴满足题意的直线BC的解析式为y=-

3

4

x+1或y=

3

4

x+1．

（2）∵DP∥y轴
∴DP⊥x轴
当点D位于如图的位置时，有D（1，0）
可得P点的纵坐标为y=-

3

4

×1+1=

1

4

∴点P的坐标为（1，

1

4

）
如图所示，当点D的坐标为（2，0）时，△AOD为等腰三角形青果学院

连接OC
∵OA为圆B的直径
∴OC⊥AD
∴C为AD中点
∴BC∥OD
又∵DP₁∥y轴
∴点P₁的坐标为（2，1）
如图所示，类似地，可得点P₂的坐标为（-2，1）
设图象经过P、P₁、P₂、三点的二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），得：
①

1

4

=a+b+c；②1=4a+2b+c；③1=4a-2b+c
解得a=

1

4

，b=0，c=0
∴图象经过这三点的二次函数的解析式为y=

1

4

x²．

（3）如图所示
∵AB∥PD，
∴PD⊥x轴，

AB

DP

=

BC

PC

∵AB=BC
∴DP=PC 青果学院

∴PM+PB=PM+PC+BC
=PM+PD+BC
由几何知识可知，当直线DP经过点M（-3，3）时，PM+PD的值最小
又∵BC是圆B的半径
∴当直线BP过点M时，PM+PB的值最小
∴PM+PB的最小值是MD+BC=3+1=4
∵OD=3，OA=2
由勾股定理有AD=

13

又可证DO是圆B的切线
∴OD²=DC·AD
∴CD=

9

13

，
则AC=AD-CD=

4

13

由△PDC∽△BAC，得：

PD

AB

=

DC

AC

即DP=

AB·DC

AC

=

9

4

∴点P的坐标为（-3，

9

4

）．