试题

（2004·大连）阅读材料，解答问题．
材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P₁（-3，9）开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线y=x²上向右跳动，得到点P₂、P₃、P₄、P₅…（如图1所示）．过P₁、P₂、P₃分别作P₁H₁、P₂H₂、P₃H₃垂直于x轴，垂足为H₁、H₂、H₃，则S_△P1P2P3=S_{梯形P1H1H3P3}-S_{梯形P1H1H2P2}-S_{梯形P2H2H3P3}=

1

2

（9+1）×2-

1

2

（9+4）×1-

1

2

（4+1）×1，即△P₁P₂P₃的面积为1．”
问题：
（1）求四边形P₁P₂P₃P₄和P₂P₃P₄P₅的面积（要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案）；
（2）猜想四边形P_n-1P_nP_n+1P_n+2的面积，并说明理由（利用图2）；
（3）若将抛物线y=x²改为抛物线y=x²+bx+c，其它条件不变，猜想四边形P_n-1P_nP_n+1P_n+2的面积（直接写出答案）．

解：（1）作P₅H₅垂直于x轴，垂足为H₅，
由图可知S_P1P2P3P4=S_△OP1H1-S_△OP3H3-S_{梯形P2H2H3P3}-S_{梯形P1H1H2P2}=

9×3

2

-

1×1

2

-

1+4

2

-

4+9

2

=4，
S_P2P3P4P5=S_{梯形P5H5H2P2}-S_△P5H5O-S_△OH3P3-S_{梯形P2H2H3P3}=

3(1+4)

2

-

1×1

2

-

1×1

2

-

1+4

2

=4；

（2）作P_n-1H_n-1、P_nH_n、P_n+1H_n+1、P_n+2H_n+2垂直于x轴，垂足为H_n-1、H_n、H_n+1、H_n+2，
由图可知P_n-1、P_n、P_n+1、P_n+2的横坐标为n-5，n-4，n-3，n-2，
代入二次函数解析式，可得P_n-1、P_n、P_n+1、P_n+2的纵坐标为（n-5）²，（n-4）²，（n-3）²，（n-2）²，
四边形P_n-1P_nP_n+1P_n+2的面积为S_{四边形Pn-1PnPn+1Pn+2}=S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-2Pn-2}-S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-4Pn-4}-S_{梯形Pn-4Hn-4Hn-3Pn-3}-S_{梯形Pn-3Hn-3Hn-2Pn-2}=

3[(n-5)2+(n-2)2]

2

-

(n-5)2+(n-4)2

2

-

(n-4)2+(n-3)2

2

-

(n-3)2+(n-2)2

2

=4；

（3）S_{四边形Pn-1PnPn+1Pn+2}=S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-2Pn-2}-S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-4Pn-4}-S_{梯形Pn-4Hn-4Hn-3Pn-3}-S_{梯形Pn-3Hn-3Hn-2Pn-2}=

3[(n-5)2+b(n-5)+c+(n-2)2+b(n-2)+c]

2

-

(n-5)2+b(n-5)+c+(n-4)2+b(n-4)+c

2

-

(n-4)2+b(n-4)+c+(n-3)2+b(n-3)+c

2

-

(n-3)2+b(n-3)+c+(n-2)2+b(n-2)+c

2

=4．
解：（1）作P₅H₅垂直于x轴，垂足为H₅，
由图可知S_P1P2P3P4=S_△OP1H1-S_△OP3H3-S_{梯形P2H2H3P3}-S_{梯形P1H1H2P2}=

9×3

2

-

1×1

2

-

1+4

2

-

4+9

2

=4，
S_P2P3P4P5=S_{梯形P5H5H2P2}-S_△P5H5O-S_△OH3P3-S_{梯形P2H2H3P3}=

3(1+4)

2

-

1×1

2

-

1×1

2

-

1+4

2

=4；

（2）作P_n-1H_n-1、P_nH_n、P_n+1H_n+1、P_n+2H_n+2垂直于x轴，垂足为H_n-1、H_n、H_n+1、H_n+2，
由图可知P_n-1、P_n、P_n+1、P_n+2的横坐标为n-5，n-4，n-3，n-2，
代入二次函数解析式，可得P_n-1、P_n、P_n+1、P_n+2的纵坐标为（n-5）²，（n-4）²，（n-3）²，（n-2）²，
四边形P_n-1P_nP_n+1P_n+2的面积为S_{四边形Pn-1PnPn+1Pn+2}=S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-2Pn-2}-S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-4Pn-4}-S_{梯形Pn-4Hn-4Hn-3Pn-3}-S_{梯形Pn-3Hn-3Hn-2Pn-2}=

3[(n-5)2+(n-2)2]

2

-

(n-5)2+(n-4)2

2

-

(n-4)2+(n-3)2

2

-

(n-3)2+(n-2)2

2

=4；

（3）S_{四边形Pn-1PnPn+1Pn+2}=S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-2Pn-2}-S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-4Pn-4}-S_{梯形Pn-4Hn-4Hn-3Pn-3}-S_{梯形Pn-3Hn-3Hn-2Pn-2}=

3[(n-5)2+b(n-5)+c+(n-2)2+b(n-2)+c]

2

-

(n-5)2+b(n-5)+c+(n-4)2+b(n-4)+c

2

-

(n-4)2+b(n-4)+c+(n-3)2+b(n-3)+c

2

-

(n-3)2+b(n-3)+c+(n-2)2+b(n-2)+c

2

=4．