试题

（2004·长沙）已知两点O（0，0）、B（0，2），⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3：1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动．
（1）求⊙A的半径；
（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；
（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC=CE，求点E的坐标；
（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PFC的面积关于m的函数解析式．

解：（1）
由弧长之比为3：1，
可得∠BAO=90°，（1分）
再由AB=AO=r，且OB=2，
得r=

2

；

（2）⊙A的切线l过原点，可设l为y=kx，
任取l上一点（b，kb），由l与y轴夹角为45°，
可得：b=-kb或b=kb，得k=-1或k=1，
∴直线l的解析式为y=-x或y=x
又由r=

2

，易得C（2，0）或C（-2，0）
由此可设抛物线解析式为y=ax（x-2）或y=ax（x+2）
再把顶点坐标代入l的解析式中得a=1
∴抛物线为y=x²-2x或y=x²+2x；

（3）当l的解析式为y=-x时，由P在l上，
可设P（m，-m）（m＞0）
过P作PP′⊥x轴于P′，
∴OP′=|m|，PP′=|-m|，
∴OP=

m2+(-m)2

=2m²，
又由切割线定理可得：OP²=PC·PE，且PC=CE，
得PC=C′E=m=PP′
∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，
∴m=-2，E（2，2）
同理，当l的解析式为y=x时，m=-2，E（-2，2）；

（4）若C（2，0），此时l为y=-x，
∵P与点O、点C不重合，
∴m≠0且m≠2，
当m＜0时，FC=2（2-m），高为|y_p|即为-m，
∴S=

2(2-m)·(-m)

2

=m²-2m．
同理当0＜m＜2时，S=-m²+2m；当m＞2时，S=m²-2m；
∴S=.

m2-2m(m＜0或m＞2) -m2+2m(0＜m＜2)

，
又若C（-2，0），
此时l为y=x，同理可得；S=.

m2+2m(m＜-2或m＞0) -m2-2m(-2＜m＜0)

．
解：（1）
由弧长之比为3：1，
可得∠BAO=90°，（1分）
再由AB=AO=r，且OB=2，
得r=

2

；

（2）⊙A的切线l过原点，可设l为y=kx，
任取l上一点（b，kb），由l与y轴夹角为45°，
可得：b=-kb或b=kb，得k=-1或k=1，
∴直线l的解析式为y=-x或y=x
又由r=

2

，易得C（2，0）或C（-2，0）
由此可设抛物线解析式为y=ax（x-2）或y=ax（x+2）
再把顶点坐标代入l的解析式中得a=1
∴抛物线为y=x²-2x或y=x²+2x；

（3）当l的解析式为y=-x时，由P在l上，
可设P（m，-m）（m＞0）
过P作PP′⊥x轴于P′，
∴OP′=|m|，PP′=|-m|，
∴OP=

m2+(-m)2

=2m²，
又由切割线定理可得：OP²=PC·PE，且PC=CE，
得PC=C′E=m=PP′
∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，
∴m=-2，E（2，2）
同理，当l的解析式为y=x时，m=-2，E（-2，2）；

（4）若C（2，0），此时l为y=-x，
∵P与点O、点C不重合，
∴m≠0且m≠2，
当m＜0时，FC=2（2-m），高为|y_p|即为-m，
∴S=

2(2-m)·(-m)

2

=m²-2m．
同理当0＜m＜2时，S=-m²+2m；当m＞2时，S=m²-2m；
∴S=.

m2-2m(m＜0或m＞2) -m2+2m(0＜m＜2)

，
又若C（-2，0），
此时l为y=x，同理可得；S=.

m2+2m(m＜-2或m＞0) -m2-2m(-2＜m＜0)

．