题目：
（2003·泰州）已知：如图，抛物线y=x2-（m+2）x+3（m-1）与x轴的两个交点M、N在原点的
两侧，点N在点M的右边，直线y1=-2x+m+6经过点N，交y轴于点F．（1）求这条抛物线和直线的解析式．
（2）又直线y2=kx（k＞0）与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y1交于点P，分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别是C、D、H．
①试用含有k的代数式表示
| 1 |
| OC |
| 1 |
| OD |
②求证：
| 1 |
| OC |
| 1 |
| OD |
| 2 |
| OH |
（3）在（2）的条件下，延长线段BD交直线y1于点E，当直线y2绕点O旋转时，问是否存在满足条件的k值，使△PBE为等腰三角形？若存在，求出直线y2的解析式；若不存在，请说明理由．
答案
解：（1）由题意可知：N点的坐标为（| m+6 |
| 2 |
已知抛物线过N点，则有：
| (m+6)2 |
| 4 |
| (m+6)(m+2) |
| 2 |
即m2-8m=0，解得m=0，m=8．
∵M，N在原点两侧，因此3（m-1）＜0，m＜1；
因此m=8不合题意舍去
∴m=0．
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，直线的解析式为y1=-2x+6．
（2）已知抛物线与直线y2交于A、B两点，
因此kx=x2-2x+3，
即x2-（2+k）x-3=0
设C、D的坐标为（x1，0），（x2，0）．
∴x1+x2=2+k，x1·x2=-3
∴
| 1 |
| OC |
| 1 |
| OD |
| OD-OC |
| OC·OD |
| x1+x2 |
| -x1x2 |
| 2+k |
| 3 |
已知直线y2与y1交于P点，
则：-2x+6=kx，x=
| 6 |
| k+2 |
∴H点的坐标为（
| 6 |
| k+2 |
因此
| 2 |
| OH |
| 2+k |
| 3 |
∴
| 1 |
| OC |
| 1 |
| OD |
| 2 |
| OH |
（3）本题要分三种情况：
①PB=BE，则有∠OFD=∠OPF，
∵∠OFD＜45°，
∴∠FOB为钝角，此时y2的斜率k＜0，
因此不合题意，不存在这种情况．
②PB=PE，则有PF=PO，设P点的坐标为（x，y），
∴y=
| 1 |
| 2 |
已知直线y1过P点，
因此P点的坐标为（
| 3 |
| 2 |
∴3=
| 3 |
| 2 |
因此直线y2的解析式为y2=2x．
③PE=BE，则有PF=OF=6．过P作PG⊥y轴于G，设点P的坐标为（x，y）．
在直角三角形OEF中，OE=3，OF=6，根据勾股定理可得：EF=3
| 5 |
∵PG∥x轴
∴
| PF |
| NF |
| PG |
| ON |
即
| 6 | ||
3
|
| x |
| 3 |
∴x=
6
| ||
| 5 |
由于直线y1=-2x+6过P点，
因此P点的坐标为（
6
| ||
| 5 |
30-12
| ||
| 5 |
∴
30-12
| ||
| 5 |
6
| ||
| 5 |
| 5 |
∴y2=（
| 5 |
综上所述y2的解析式为y2=2x或y2=（
| 5 |
解：（1）由题意可知：N点的坐标为（
| m+6 |
| 2 |
已知抛物线过N点，则有：
| (m+6)2 |
| 4 |
| (m+6)(m+2) |
| 2 |
即m2-8m=0，解得m=0，m=8．
∵M，N在原点两侧，因此3（m-1）＜0，m＜1；
因此m=8不合题意舍去
∴m=0．
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，直线的解析式为y1=-2x+6．
（2）已知抛物线与直线y2交于A、B两点，
因此kx=x2-2x+3，
即x2-（2+k）x-3=0
设C、D的坐标为（x1，0），（x2，0）．
∴x1+x2=2+k，x1·x2=-3
∴
| 1 |
| OC |
| 1 |
| OD |
| OD-OC |
| OC·OD |
| x1+x2 |
| -x1x2 |
| 2+k |
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已知直线y2与y1交于P点，
则：-2x+6=kx，x=
| 6 |
| k+2 |
∴H点的坐标为（
| 6 |
| k+2 |
因此
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| OH |
| 2+k |
| 3 |
∴
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| OC |
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| OD |
| 2 |
| OH |
（3）本题要分三种情况：
①PB=BE，则有∠OFD=∠OPF，
∵∠OFD＜45°，
∴∠FOB为钝角，此时y2的斜率k＜0，
因此不合题意，不存在这种情况．
②PB=PE，则有PF=PO，设P点的坐标为（x，y），
∴y=
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已知直线y1过P点，
因此P点的坐标为（
| 3 |
| 2 |
∴3=
| 3 |
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因此直线y2的解析式为y2=2x．
③PE=BE，则有PF=OF=6．过P作PG⊥y轴于G，设点P的坐标为（x，y）．
在直角三角形OEF中，OE=3，OF=6，根据勾股定理可得：EF=3
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∵PG∥x轴
∴
| PF |
| NF |
| PG |
| ON |
即
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3
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| x |
| 3 |
∴x=
6
| ||
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由于直线y1=-2x+6过P点，
因此P点的坐标为（
6
| ||
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30-12
| ||
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∴
30-12
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6
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∴y2=（
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综上所述y2的解析式为y2=2x或y2=（
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