试题

（2003·苏州）已知抛物线y=x²+（1-2a）x+a²（a≠0）与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁≠x₂）．
（1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=OC-2，求a的值．

解：（1）∵抛物线与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁≠x₂，
∴△=（1-2a）²-4a²＞0．a＜

1

4

．
又∵a≠0，
∴x₁·x₂=a²＞0，
即x₁、x₂必同号．
而x₁+x₂=-（1-2a）=2a-1＜

1

2

-1=-

1

2

＜0，
∴x₁、x₂必同为负数，
∴点A（x₁，0），B（x₂，0）都在原点的左侧．

（2）∵x₁、x₂同为负数，
∴由OA+OB=OC-2，
得-x₁-x₂=a²-2
∴1-2a=a²-2，
∴a²+2a-3=0．
∴a₁=1，a₂=-3，
∵a＜

1

4

，且a≠0，
∴a的值为-3．
解：（1）∵抛物线与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁≠x₂，
∴△=（1-2a）²-4a²＞0．a＜

1

4

．
又∵a≠0，
∴x₁·x₂=a²＞0，
即x₁、x₂必同号．
而x₁+x₂=-（1-2a）=2a-1＜

1

2

-1=-

1

2

＜0，
∴x₁、x₂必同为负数，
∴点A（x₁，0），B（x₂，0）都在原点的左侧．

（2）∵x₁、x₂同为负数，
∴由OA+OB=OC-2，
得-x₁-x₂=a²-2
∴1-2a=a²-2，
∴a²+2a-3=0．
∴a₁=1，a₂=-3，
∵a＜

1

4

，且a≠0，
∴a的值为-3．