试题

（2003·青岛）巳知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=60°，BD⊥CD．
（1）求BC、AD的长度；
（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°
∴∠DBC=30°
∴BC=2CD=6cm
由已知得：梯形ABCD是等腰梯形
∴∠ABC=∠C=60°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=30°
∴∠ABD=∠ADB
∴AD=AB=3cm

（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t
∴PC=6-2t
过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=

3

2

t
∴S_梯形ABCD-S_△PCQ=

27 3

4

-

3

4

（6-2t）t=

3

4

（2t²-6t+27）（0＜t＜3）

（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5
∵S_梯形ABCD=

27 3

4

，S_△ABD=

1

2

×3×

3

2

×3
∴S_△ABD=

1

3

×S_梯形ABCD
∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的

1

6

∴S_△PCQ：S_{五边形ABPQD}=1：5，
即S_{五边形ABPQD}=

5

6

S_梯形ABCD
∴

3

4

（2t²-6t+27）=

5

6

×

27 3

4

整理得：4t²-12t+9=0
∴t=

3

2

，即当t=

3

2

秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．
解：（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°
∴∠DBC=30°
∴BC=2CD=6cm
由已知得：梯形ABCD是等腰梯形
∴∠ABC=∠C=60°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=30°
∴∠ABD=∠ADB
∴AD=AB=3cm

（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t
∴PC=6-2t
过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=

3

2

t
∴S_梯形ABCD-S_△PCQ=

27 3

4

-

3

4

（6-2t）t=

3

4

（2t²-6t+27）（0＜t＜3）

（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5
∵S_梯形ABCD=

27 3

4

，S_△ABD=

1

2

×3×

3

2

×3
∴S_△ABD=

1

3

×S_梯形ABCD
∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的

1

6

∴S_△PCQ：S_{五边形ABPQD}=1：5，
即S_{五边形ABPQD}=

5

6

S_梯形ABCD
∴

3

4

（2t²-6t+27）=

5

6

×

27 3

4

整理得：4t²-12t+9=0
∴t=

3

2

，即当t=

3

2

秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．