试题

（2012·庐江县模拟）已知如图，矩形OABC的长OA=

3

，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）求∠PCB的度数；
（2）若P，A两点在抛物线y=-

4

3

x²+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标．

解：（1）在Rt△OAC中，OA=

3

，OC=1，则∠OAC=30°，∠OCA=60°；
根据折叠的性质知：OA=AP=

3

，∠ACO=∠ACP=60°；
∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，
∴∠PCB=30°．

（2）过P作PQ⊥OA于Q；
Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=

3

；
∴OQ=AQ=

3

2

，PQ=

3

2

，
所以P（

3

2

，

3

2

）；
将P、A代入抛物线的解析式中，得：

-1+ 3 2 b+c= 3 2 -4+ 3 b+c=0

，
解得

b= 3 c=1

；
即y=-

4

3

x²+

3

x+1；
当x=0时，y=1，故C（0，1）在抛物线的图象上．

（3）①若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD平行x轴，
∴过点D作DM∥CE交x轴于M，则四边形EMDC为平行四边形，
把y=1代入抛物线解析式得点D的坐标为（

3 3

4

，1）
把y=0代入抛物线解析式得点E的坐标为（-

3

4

，0）
∴M（

3

2

，0）；N点即为C点，坐标是（0，1）；

②若DE是平行四边形的边，
过点A作AN∥DE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形，
∴DE=AN=

OA 2+ON 2

=

3+1

=2，
∵tan∠EAN=

ON

OA

=

3

3

，
∴∠EAN=30°，
∵∠DEA=∠EAN，
∴∠DEA=30°，
∴M（

3

，0），N（0，-1）；
同理过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形，
∴M（-

3

，0），N（0，1）．
解：（1）在Rt△OAC中，OA=

3

，OC=1，则∠OAC=30°，∠OCA=60°；
根据折叠的性质知：OA=AP=

3

，∠ACO=∠ACP=60°；
∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，
∴∠PCB=30°．

（2）过P作PQ⊥OA于Q；
Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=

3

；
∴OQ=AQ=

3

2

，PQ=

3

2

，
所以P（

3

2

，

3

2

）；
将P、A代入抛物线的解析式中，得：

-1+ 3 2 b+c= 3 2 -4+ 3 b+c=0

，
解得

b= 3 c=1

；
即y=-

4

3

x²+

3

x+1；
当x=0时，y=1，故C（0，1）在抛物线的图象上．

（3）①若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD平行x轴，
∴过点D作DM∥CE交x轴于M，则四边形EMDC为平行四边形，
把y=1代入抛物线解析式得点D的坐标为（

3 3

4

，1）
把y=0代入抛物线解析式得点E的坐标为（-

3

4

，0）
∴M（

3

2

，0）；N点即为C点，坐标是（0，1）；

②若DE是平行四边形的边，
过点A作AN∥DE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形，
∴DE=AN=

OA 2+ON 2

=

3+1

=2，
∵tan∠EAN=

ON

OA

=

3

3

，
∴∠EAN=30°，
∵∠DEA=∠EAN，
∴∠DEA=30°，
∴M（

3

，0），N（0，-1）；
同理过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形，
∴M（-

3

，0），N（0，1）．