试题

题目：
（2011·香洲区一模）如图（1），抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图（2）、图（3）为解答备用图]
青果学院
（1）k=
-3
-3
，点A的坐标为
（-1，0）
（-1，0）
，点B的坐标为
（3，0）
（3，0）
；
（2）设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
-3

（-1，0）

（3，0）

解：（1）由于点C在抛物线的图象上，则有：k=-3；
∴y=x2-2x-3；
令y=0，则x2-2x-3=0，
解得x=-1，x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；青果学院
故填：k=-3，A（-1，0），B（3，0）；

（2）抛物线的顶点为M（1，-4），连接OM；
则△AOC的面积=
1
2
AO·OC=
1
2
×1×3=
3
2
，
△MOC的面积=
1
2
OC·|xM|=
1
2
×3×1=
3
2
，
△MOB的面积=
1
2
OB·|yM|=
1
2
×3×4=6；
∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9；

（3）设D（m，m2-2m-3），连接OD；
则0＜m＜3，m2-2m-3＜0；
且△AOC的面积=
3
2
，△DOC的面积=
3
2
m，△DOB的面积=-
3
2
（m2-2m-3）；
∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=-
3
2
m2+
9
2
m+6=-
3
2
（m-
3
2
）2+
75
8
；
∴存在点D（
3
2
，-
15
4
），使四边形ABDC的面积最大，且最大值为
75
8
．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）将C点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出k的值；令抛物线的解析式中y=0，即可求出A、B的坐标；
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可求出M点的坐标；由于四边形ACMB不规则，可连接OM，将四边形ACMB的面积转化为△ACO、△MOC以及△MOB的面积和；
（3）当D点位于第三象限时四边形ABCD的最大面积显然要小于当D位于第四象限时四边形ABDC的最大面积，因此本题直接考虑点D为与第四象限时的情况即可；设出点D的横坐标，根据抛物线的解析式即可得到其纵坐标；可参照（2）题的方法求解，连接OD，分别表示出△ACO、△DOC以及△DOB的面积，它们的面积和即为四边形ABDC的面积，由此可得到关于四边形ABDC的面积与D点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABDC的最大面积及对应的D点坐标．
此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、二次函数的应用等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．
综合题；压轴题．
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