试题

（2011·嘉兴一模）如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC．
①求证：△AOC∽△DCB；
②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设Q是抛物线上一点，连接QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC，若四边形QBQ′C为菱形，求此时点Q的坐标．

解：（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得：

-1-b+c=0 c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
令y=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1（舍去），
∴点B的坐标是（3，0）；

（2）①证明：可求得顶点D（1，4）；OA=1，OC=OB=3，∠OCB=45°，
由勾股定理求得：CD=

2

，BC=3

2

．
∴

CD

CB

=

2

3 2

=

1

3

=

OA

OC

，
易知：∠DCy=45°，故∠DCB=90°=∠AOC，
∴△AOC∽△DCB．
②存在符合条件的点P有两个：P₁（9，0）或P₂（0，-

1

3

）；

（3）若四边形QBQ′C为菱形，则QQ′垂直平分BC，∴点Q在线段BC的垂直平分线上，
∵OC=OB，
∴直线QQ’平分∠BOC，
即：直线QQ′的解析式为y=x，
∵点Q在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴-x²+2x+3=x，
解得x=

1± 13

2

，
∴Q（

1+ 13

2

，

1+ 13

2

）或（

1- 13

2

，

1- 13

2

）．
解：（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得：

-1-b+c=0 c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
令y=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1（舍去），
∴点B的坐标是（3，0）；

（2）①证明：可求得顶点D（1，4）；OA=1，OC=OB=3，∠OCB=45°，
由勾股定理求得：CD=

2

，BC=3

2

．
∴

CD

CB

=

2

3 2

=

1

3

=

OA

OC

，
易知：∠DCy=45°，故∠DCB=90°=∠AOC，
∴△AOC∽△DCB．
②存在符合条件的点P有两个：P₁（9，0）或P₂（0，-

1

3

）；

（3）若四边形QBQ′C为菱形，则QQ′垂直平分BC，∴点Q在线段BC的垂直平分线上，
∵OC=OB，
∴直线QQ’平分∠BOC，
即：直线QQ′的解析式为y=x，
∵点Q在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴-x²+2x+3=x，
解得x=

1± 13

2

，
∴Q（

1+ 13

2

，

1+ 13

2

）或（

1- 13

2

，

1- 13

2

）．