试题

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

1

2

x+b(b＞0)分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．
（1）求点P的坐标．
（2）若点P关于x轴的对称点为P′，试求经过M、N、P′三点的抛物线的解析式．
（3）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式．
（4）若在直线y=-

1

2

x+b(b＞0)上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围．

解：（1）作PK⊥MN于K，则PK=KM=

1

2

NM=2．
∴KO=6，
∴P（6，2）；

（2）∵点P关于x轴的对称点为P′，
∴P′点的坐标为：（6，-2），
∵M（4，0），N（8，0），
∴代入二次函数解析式得出：y=a（x-4）（x-8），
∴-2=a（6-4）（6-8），
∴a=

1

2

，
∴经过M、N、P′三点的抛物线的解析式为：y=

1

2

（x-4）（x-8）；


（3）当0＜b≤2时，如图，S=0．

当2＜b≤3时，如图，

设AC交PM于H．AM=HA=2b-4．
∴S=

1

2

(2b-4)2．
即S=2（b-2）²或S=2b²-8b+8．
当3＜b＜4时，如图，

设AC交PN于H．NA=HA=8-2b．
∴S=-2（4-b）²+4或S=-2b²+16b-28．
当b≥4时，如图，

S=4．

（4）0＜b≤

5

+1．（提示：以OM为直径作圆，当直线y=-

1

2

x+b(b＞0)与此圆相切时，b=

5

+1．）
解：（1）作PK⊥MN于K，则PK=KM=

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NM=2．
∴KO=6，
∴P（6，2）；

（2）∵点P关于x轴的对称点为P′，
∴P′点的坐标为：（6，-2），
∵M（4，0），N（8，0），
∴代入二次函数解析式得出：y=a（x-4）（x-8），
∴-2=a（6-4）（6-8），
∴a=

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，
∴经过M、N、P′三点的抛物线的解析式为：y=

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（x-4）（x-8）；


（3）当0＜b≤2时，如图，S=0．

当2＜b≤3时，如图，

设AC交PM于H．AM=HA=2b-4．
∴S=

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2

(2b-4)2．
即S=2（b-2）²或S=2b²-8b+8．
当3＜b＜4时，如图，

设AC交PN于H．NA=HA=8-2b．
∴S=-2（4-b）²+4或S=-2b²+16b-28．
当b≥4时，如图，

S=4．

（4）0＜b≤

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+1．（提示：以OM为直径作圆，当直线y=-

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x+b(b＞0)与此圆相切时，b=

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+1．）