试题

如图（1）所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，且OB=OC，又tan∠ACO=

1

3

．
①求这个函数的表达式．
②经过C．D两点的直线与x轴交于点E，在抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求点F的坐标．
③如图（2）所示，若G（2，t）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求此时P点的坐标和△APG的最大面积．

解：（1）方法一：∵点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，且OB=OC，又tan∠ACO=

1

3

．
∴tan∠ACO=

AO

CO

=

1

3

，
∴AO=1，
∴C（0，-3），A（-1，0），
将A、B、C三点的坐标代入得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
设该表达式为：y=a（x+1）（x-3），
将C点的坐标代入得：a=1，
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3；
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）如图，在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x²-2x-3=0，∴x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）²-4，∴顶点D（1，-4）．
容易求得直线CD的表达式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴E（-3，0），
∴AE=2．
在y=x²-2x-3中，令y=-3，得x₁=0，x₂=2，
∴CF=2，
∴AE=CF．
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，此时F（2，-3）．

（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1；
设P（x，x²-2x-3），则Q（x，-x-1），PQ=-x²+x+2；
S△APG=S△APQ+S△GPQ=

1

2

(-x2+x+2)×3=-

3

2

(x-

1

2

)2+

27

8

，
当x=

1

2

时，△APG的面积最大为

27

8

；
∵AG=3

2

，P到AG的最大距离为

2S△APG

AG

=

2× 27 8

3 2

=

9

8

2

，
此时P点的坐标为(

1

2

，-

15

4

)．
解：（1）方法一：∵点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，且OB=OC，又tan∠ACO=

1

3

．
∴tan∠ACO=

AO

CO

=

1

3

，
∴AO=1，
∴C（0，-3），A（-1，0），
将A、B、C三点的坐标代入得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
设该表达式为：y=a（x+1）（x-3），
将C点的坐标代入得：a=1，
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3；
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）如图，在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x²-2x-3=0，∴x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）²-4，∴顶点D（1，-4）．
容易求得直线CD的表达式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴E（-3，0），
∴AE=2．
在y=x²-2x-3中，令y=-3，得x₁=0，x₂=2，
∴CF=2，
∴AE=CF．
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，此时F（2，-3）．

（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1；
设P（x，x²-2x-3），则Q（x，-x-1），PQ=-x²+x+2；
S△APG=S△APQ+S△GPQ=

1

2

(-x2+x+2)×3=-

3

2

(x-

1

2

)2+

27

8

，
当x=

1

2

时，△APG的面积最大为

27

8

；
∵AG=3

2

，P到AG的最大距离为

2S△APG

AG

=

2× 27 8

3 2

=

9

8

2

，
此时P点的坐标为(

1

2

，-

15

4

)．