试题

已知函数y1=ax2+a2x+2b-a3，当-2＜x＜6时，y₁＞0，而当x＜-2或x＞6时，y₁＜0．
（1）求实数a，b的值及函数y1=ax2+a2x+2b-a3的表达式；
（2）设函数y2=-

k

4

y1+4(k+1)x+2(6k-1)，k取何值时，函数y₂的值恒为负？

解：（1）由题意得方程ax²+a²x+2b-a³=0的两根为x₁=-2，x₂=6，
由

x1+x2=- a2 a x1·x2= 2b-a3 a

，
解得a=-4，b=-8，
代入得函数表达式为y₁=-4x²+16x+48；

（2）由（1）得y₁=-

k

4

（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2，
若函数值恒为负，
则此二次函数为开口向下与x轴无交点，
所以有

k＜0 △=42-4·k·(-2)＜0

，
解的k＜-2，
所以k＜-2时，函数y₂的值恒为负．
解：（1）由题意得方程ax²+a²x+2b-a³=0的两根为x₁=-2，x₂=6，
由

x1+x2=- a2 a x1·x2= 2b-a3 a

，
解得a=-4，b=-8，
代入得函数表达式为y₁=-4x²+16x+48；

（2）由（1）得y₁=-

k

4

（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2，
若函数值恒为负，
则此二次函数为开口向下与x轴无交点，
所以有

k＜0 △=42-4·k·(-2)＜0

，
解的k＜-2，
所以k＜-2时，函数y₂的值恒为负．