试题

题目：
已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，f（x）=x的两实根为α、β．
（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；
（2）若a、b均为负整数，且|α-β|=1，求f（x）解析式；
（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．
答案
解：（1）∵f（x）=x，
∴ax2+4x+b=x，
α=
-3+
9-4ab
2a
，β=
-3-
9-4ab
2a
．
∵|α-β|=1，
∴
9-4ab
=|a|，
∴a2+4ab-9=0；
（2）∵a、b均为负整数，a2+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x2+4x-2．
（3）∵关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，
∴ax2+4x+b=0
∴x1x2=
b
a
，x1+x2=-
4
a
．
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=
b
a
-
4
a
+1．
b
a
-
4
a
+1-7=
b-4-6a
a
，
∵a＜0，
当b＞6a+4时，（x1+1）（x2+1）＜7．
当b=6a+4时，（x1+1）（x2+1）=7．
当b＜6a+4时，（x1+1）（x2+1）＞7．
解：（1）∵f（x）=x，
∴ax2+4x+b=x，
α=
-3+
9-4ab
2a
，β=
-3-
9-4ab
2a
．
∵|α-β|=1，
∴
9-4ab
=|a|，
∴a2+4ab-9=0；
（2）∵a、b均为负整数，a2+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x2+4x-2．
（3）∵关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，
∴ax2+4x+b=0
∴x1x2=
b
a
，x1+x2=-
4
a
．
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=
b
a
-
4
a
+1．
b
a
-
4
a
+1-7=
b-4-6a
a
，
∵a＜0，
当b＞6a+4时，（x1+1）（x2+1）＜7．
当b=6a+4时，（x1+1）（x2+1）=7．
当b＜6a+4时，（x1+1）（x2+1）＞7．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α，β，根据|α-β|=1，可求出a、b满足的关系式．
（2）根据（1）求出的结果和a、b均为负整数，且|α-β|=1，可求出a，b，从而求出f（x）解析式．
（3）因为关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，用a和b表示出（x1+1）（x2+1），讨论a，b的关系可比较（x1+1）（x2+1）与7的大小的结论．
本题考查二次函数的综合运用，考查了确定函数式，方程与函数的关系，以及求一元二次方程的求根公式的应用．
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