试题

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．

解：（1）根据题意，得

a+b+c=-3 9a+3b+c=-3 a-b+c=5

，解得

a=1 b=-4 c=0

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90·．
x=-

b

2a

=-

-4

2

=2，y=

4ac-b2

4a

=

-16

4

=-4，
∴顶点M的坐标为（2，-4），
设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为（a，a²-4a），
过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．
则∠POE+∠MOF=90·，∠POE+∠EPO=90·．
∴∠EPO=∠FOM．
∵∠OEP=∠MFO=90·，
∴Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．
即（a²-4a）：2=a：4，
解得a₁=0（舍去），a₂=

9

2

，
∴P点的坐标为（

9

2

，

9

4

）；

（3）过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N．则∠FMN+∠OMF=90·．
∵∠MOF+∠OMF=90·，
∴∠MOF=∠FMN．
又∵∠OFM=∠MFN=90·，
∴△OFM∽△MFN．
∴OF：MF=MF：FN． 即 4：2=2：FN．∴FN=1．
∴点N的坐标为（0，-5）．
设过点M，N的直线的解析式为y=kx+b，则

2k+b=-4 b=-5

，
解得

k= 1 2 b=-5

，∴直线的解析式为y=

1

2

x-5，
联立

y= 1 2 x-5 y=x2-4x

得x²-

9

2

x+5=0，解得x₁=2，x₂=

5

2

，
∴直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．
另一个交点K的坐标为（

5

2

，-

15

4

），
∴抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90·．坐标为（

5

2

，-

15

4

）．
解：（1）根据题意，得

a+b+c=-3 9a+3b+c=-3 a-b+c=5

，解得

a=1 b=-4 c=0

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90·．
x=-

b

2a

=-

-4

2

=2，y=

4ac-b2

4a

=

-16

4

=-4，
∴顶点M的坐标为（2，-4），
设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为（a，a²-4a），
过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．
则∠POE+∠MOF=90·，∠POE+∠EPO=90·．
∴∠EPO=∠FOM．
∵∠OEP=∠MFO=90·，
∴Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．
即（a²-4a）：2=a：4，
解得a₁=0（舍去），a₂=

9

2

，
∴P点的坐标为（

9

2

，

9

4

）；

（3）过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N．则∠FMN+∠OMF=90·．
∵∠MOF+∠OMF=90·，
∴∠MOF=∠FMN．
又∵∠OFM=∠MFN=90·，
∴△OFM∽△MFN．
∴OF：MF=MF：FN． 即 4：2=2：FN．∴FN=1．
∴点N的坐标为（0，-5）．
设过点M，N的直线的解析式为y=kx+b，则

2k+b=-4 b=-5

，
解得

k= 1 2 b=-5

，∴直线的解析式为y=

1

2

x-5，
联立

y= 1 2 x-5 y=x2-4x

得x²-

9

2

x+5=0，解得x₁=2，x₂=

5

2

，
∴直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．
另一个交点K的坐标为（

5

2

，-

15

4

），
∴抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90·．坐标为（

5

2

，-

15

4

）．