试题

阅读材料：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=

1

2

ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（-1，-4），交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第三象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
（3）是否存在一点P，使S_△PAB=S_△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线的解析式为y₁=a（x+1）²-4．
把A（-3，0）代入解析式，解得a=1．
∴抛物线的表达式为y₁=（x+1）²-4=x²+2x-3；
∴B点的坐标为（0，-3）．（3分）
设直线AB的表达式为y₂=kx+b．
把A（-3，0），B（0，-3）待入，得

-3k+b=o b=-3

解得k=-1，b=-3．
∴直线AB的表达式为y₂=-x-3．（4分）

（2）因为点C坐标为（-1，-4），
∴当x=-1时，y₁=-4，y₂=-2．
∴CD=-2-（-4）=2．（5分）
S△ABC=

1

2

OA·CD=

1

2

×3×2=3．（6分）

（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x（-3＜x＜0），
△PAB的铅垂高为H．则H=y₂-y₁=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x．（7分）
由S_△PAB=S_△CAB，得

1

2

×3×(-x2-3x)=3．
化简得：x²+3x+2=0．解得x₁=-2，x₂=-1．（9分）
将x=-2代入y₁=x²+2x-3 中，解得P点坐标为（-2，-3）．
将x=-1代入y₁=x²+2x-3 中，P点坐标为（-1，-4）与顶点C重合．
所以还存在点P（-2，-3），满足条件．（12分）
解：（1）设抛物线的解析式为y₁=a（x+1）²-4．
把A（-3，0）代入解析式，解得a=1．
∴抛物线的表达式为y₁=（x+1）²-4=x²+2x-3；
∴B点的坐标为（0，-3）．（3分）
设直线AB的表达式为y₂=kx+b．
把A（-3，0），B（0，-3）待入，得

-3k+b=o b=-3

解得k=-1，b=-3．
∴直线AB的表达式为y₂=-x-3．（4分）

（2）因为点C坐标为（-1，-4），
∴当x=-1时，y₁=-4，y₂=-2．
∴CD=-2-（-4）=2．（5分）
S△ABC=

1

2

OA·CD=

1

2

×3×2=3．（6分）

（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x（-3＜x＜0），
△PAB的铅垂高为H．则H=y₂-y₁=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x．（7分）
由S_△PAB=S_△CAB，得

1

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×3×(-x2-3x)=3．
化简得：x²+3x+2=0．解得x₁=-2，x₂=-1．（9分）
将x=-2代入y₁=x²+2x-3 中，解得P点坐标为（-2，-3）．
将x=-1代入y₁=x²+2x-3 中，P点坐标为（-1，-4）与顶点C重合．
所以还存在点P（-2，-3），满足条件．（12分）