试题

已知m，n，p为正整数，m＜n．设A（-m，0），B（n，0），C（0，p），O为坐标原点．若∠ACB=90°，且OA²+OB²+OC²=3（OA+OB+OC）．
（1）证明：m+n=p+3；
（2）求图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式．

解：（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴OA·OB=OC²，即mn=p²．
∵OA²+OB²+OC²=3（OA+OB+OC），
∴m²+n²+p²=3（m+n+p）．（5分）
又∵m²+n²+p²=（m+n+p）²-2（mn+np+mp）=（m+n+p）²-2（p²+np+mp）=（m+n+p）²-2p（m+n+p）=（m+n+p）（m+n-p），
∴m+n-p=3，即m+n=p+3．（10分）


（2）∵mn=p²，m+n=p+3，
∴m，n是关于x的一元二次方程x²-（p+3）x+p²=0①的两个不相等的正整数根，
∴△=[-（p+3）]²-4p²＞0，解得-1＜p＜3．
又∵p为正整数，故p=1或p=2．（15分）
当p=1时，方程①为x²-4x+1=0，没有整数解．
当p=2时，方程①为x²-5x+4=0，两根为m=1，n=4．
综合知：m=1，n=4，p=2．（20分）
设图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为y=k（x+1）（x-4），将点C（0，2）的坐标代入得2=k×1×（-4），解得k=-

1

2

．
∴图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2．（5分）
解：（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴OA·OB=OC²，即mn=p²．
∵OA²+OB²+OC²=3（OA+OB+OC），
∴m²+n²+p²=3（m+n+p）．（5分）
又∵m²+n²+p²=（m+n+p）²-2（mn+np+mp）=（m+n+p）²-2（p²+np+mp）=（m+n+p）²-2p（m+n+p）=（m+n+p）（m+n-p），
∴m+n-p=3，即m+n=p+3．（10分）


（2）∵mn=p²，m+n=p+3，
∴m，n是关于x的一元二次方程x²-（p+3）x+p²=0①的两个不相等的正整数根，
∴△=[-（p+3）]²-4p²＞0，解得-1＜p＜3．
又∵p为正整数，故p=1或p=2．（15分）
当p=1时，方程①为x²-4x+1=0，没有整数解．
当p=2时，方程①为x²-5x+4=0，两根为m=1，n=4．
综合知：m=1，n=4，p=2．（20分）
设图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为y=k（x+1）（x-4），将点C（0，2）的坐标代入得2=k×1×（-4），解得k=-

1

2

．
∴图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2．（5分）