试题

已知：二次函数y=ax²-4ax+b图象，开口向上，且b＜0，与x轴的两个交点分别为A、B，且满足

|OA|

|OB|

=5，（O为坐标原点），与y轴的交点为C（0，t），顶点的纵坐标为k，且满足|k-

9

5

3

|≤

24

5

3

．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求t的取值范围．
（3）当t取最小值时，求出这个二次函数式．

解：（1）二次函数y=ax²-4ax+b的对称轴为x=-

-4a

2a

=2，
∵

|OA|

|OB|

=5①，
∴点A在对称轴右边，点B在对称轴左边，
∴|OA|-2=|OB|+2②，
联立①②解得，|OA|=5，|OB|=1，
又∵5-2=3，
∴点A、B到对称轴x=2的距离为3，
所以，A、B两点的坐标分别为A（5，0），B（-1，0）；

（2）由|k-

9

5

3

|≤

24

5

3

得，k-

9

5

3

≤

24

5

3

或k-

9

5

3

≥-

24

5

3

，
解得k≤

33

5

3

或k≥-3

3

，
所以，k的范围为-3

3

≤k≤

33

5

3

，
∵抛物线与y轴的交点为C（0，t），点A（-1，0）在抛物线上，
∴b=t，a+4a+b=0，
∴5a+t=0，
抛物线顶点纵坐标k=

4ab-(-4a)2

4a

=b-4a=t-4×（-

1

5

t）=

9

5

t，
∴-3

3

≤

9

5

t≤

33

5

3

，
解得-

5

3

3

≤t≤

11

3

3

，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴t=-5a＜0，
∴t的取值范围是-

5

3

3

≤t＜0；

（3）t取最小值时，t=-

5

3

3

，
此时，b=t=-

5

3

3

，
∵5a+t=0，
∴a=

3

3

，
∴这个二次函数式为y=

3

3

x²-

4 3

3

x-

5 3

3

．
解：（1）二次函数y=ax²-4ax+b的对称轴为x=-

-4a

2a

=2，
∵

|OA|

|OB|

=5①，
∴点A在对称轴右边，点B在对称轴左边，
∴|OA|-2=|OB|+2②，
联立①②解得，|OA|=5，|OB|=1，
又∵5-2=3，
∴点A、B到对称轴x=2的距离为3，
所以，A、B两点的坐标分别为A（5，0），B（-1，0）；

（2）由|k-

9

5

3

|≤

24

5

3

得，k-

9

5

3

≤

24

5

3

或k-

9

5

3

≥-

24

5

3

，
解得k≤

33

5

3

或k≥-3

3

，
所以，k的范围为-3

3

≤k≤

33

5

3

，
∵抛物线与y轴的交点为C（0，t），点A（-1，0）在抛物线上，
∴b=t，a+4a+b=0，
∴5a+t=0，
抛物线顶点纵坐标k=

4ab-(-4a)2

4a

=b-4a=t-4×（-

1

5

t）=

9

5

t，
∴-3

3

≤

9

5

t≤

33

5

3

，
解得-

5

3

3

≤t≤

11

3

3

，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴t=-5a＜0，
∴t的取值范围是-

5

3

3

≤t＜0；

（3）t取最小值时，t=-

5

3

3

，
此时，b=t=-

5

3

3

，
∵5a+t=0，
∴a=

3

3

，
∴这个二次函数式为y=

3

3

x²-

4 3

3

x-

5 3

3

．