试题

如图，已知动圆A始终经过定点B（0，2），圆心A在抛物线y=

1

4

x2上运动，MN为⊙A在x轴上截得的弦（点M在N左侧）
（1）当A（2

2

，a）时，求a的值，并计算此时⊙A的半径与弦MN的长．
（2）当⊙A的圆心A运动时，判断弦MN的长度是否发生变化？若改变，举例说明；若不变，说明理由．
（3）连接BM，BN，当△OBM与△OBN相似时，计算点M的坐标．

解：（1）把点A（2

2

，a）代入y=

1

4

x²，
得：a=

1

4

×（2

2

）²=2，
∵B（0，2），
∴AB∥x轴，
∴⊙A的半径为2

2

，
如图，过点A作AE⊥MN于点E，连接AM，
则AM=AB=2

2

，
ME=

AB2-AE2

=

(2 2 )2-22

=2，
由垂径定理，MN=2ME=2×2=4．
故此时⊙A的半径为2

2

，弦MN的长为4；

（2）MN不变．如图1，理由如下：
设点A（m，n），则AB²=m²+（n-2）²，
在Rt△AME中，ME²=AM²-AE²=m²+（n-2）²-n²=m²-4n+4，
∵点A在抛物线y=

1

4

x²上，
∴

1

4

m²=n，
整理得，ME²=4，
ME=2，
由垂径定理得，MN=2ME=2×2=4（是定值，不变）；


（3）连接BM，BN，设M（x，0），则N（x+4，0）．
当△OBM与△OBN相似，有以下情况：
①M、N在y轴同侧，
∵△OBM与△OBN相似，
∴

OB

OM

=

ON

OB

，
即OB²=OM·ON，
所以，x（x+4）=4，
整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2+2

2

，x₂=-2-2

2

，
当M、N在y轴右侧时，如图2，M（-2+2

2

，0），
当M、N在y轴左侧时，如图3，M（-2-2

2

，0），
②M、N在y轴两侧时，如图4，
∵△OBM与△OBN相似，
∴

OB

OM

=

ON

OB

，
即OB²=OM·ON，
-x（x+4）=4，
整理得，x²+4x+4=0，
解得x=-2，
此时△OBM与△OBN全等，M（-2，0），
综上所述，M有三种情况：M（-2+2

2

，0），M（（-2-2

2

，0），M（-2，0）．
解：（1）把点A（2

2

，a）代入y=

1

4

x²，
得：a=

1

4

×（2

2

）²=2，
∵B（0，2），
∴AB∥x轴，
∴⊙A的半径为2

2

，
如图，过点A作AE⊥MN于点E，连接AM，
则AM=AB=2

2

，
ME=

AB2-AE2

=

(2 2 )2-22

=2，
由垂径定理，MN=2ME=2×2=4．
故此时⊙A的半径为2

2

，弦MN的长为4；

（2）MN不变．如图1，理由如下：
设点A（m，n），则AB²=m²+（n-2）²，
在Rt△AME中，ME²=AM²-AE²=m²+（n-2）²-n²=m²-4n+4，
∵点A在抛物线y=

1

4

x²上，
∴

1

4

m²=n，
整理得，ME²=4，
ME=2，
由垂径定理得，MN=2ME=2×2=4（是定值，不变）；


（3）连接BM，BN，设M（x，0），则N（x+4，0）．
当△OBM与△OBN相似，有以下情况：
①M、N在y轴同侧，
∵△OBM与△OBN相似，
∴

OB

OM

=

ON

OB

，
即OB²=OM·ON，
所以，x（x+4）=4，
整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2+2

2

，x₂=-2-2

2

，
当M、N在y轴右侧时，如图2，M（-2+2

2

，0），
当M、N在y轴左侧时，如图3，M（-2-2

2

，0），
②M、N在y轴两侧时，如图4，
∵△OBM与△OBN相似，
∴

OB

OM

=

ON

OB

，
即OB²=OM·ON，
-x（x+4）=4，
整理得，x²+4x+4=0，
解得x=-2，
此时△OBM与△OBN全等，M（-2，0），
综上所述，M有三种情况：M（-2+2

2

，0），M（（-2-2

2

，0），M（-2，0）．