试题

如图，已知抛物线C₁：y=a（x-2）²-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点A的横坐标是-1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向左平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点A成中心对称时，求C₃的解析式y=a（x-h）²+k；
（3）如图（2），点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标．

解：（1）由抛物线C₁：y=a（x-2）²-5得顶点P的坐标为（2，-5）；
∵点A（-1，0）在抛物线C₁上，
∴a（-3）²-5=0，
解得：a=

5

9

．

（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，
∵点P、M关于点A成中心对称，
∴PM过点A，且PA=MA，
∴△PAH≌△MAG，
∴MG=PH=5，AG=AH=3．
∴顶点M的坐标为（-4，5），
∵抛物线C₂与C₁关于x轴对称，抛物线C₃由C₂平移得到，
∴抛物线C₃的表达式y=-

5

9

(x+4)2+5．

（3）∵抛物线C₄由C₁绕x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
由（2）得点N的纵坐标为5，
设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R，
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2AH=6，
∴EG=3，点E坐标为（m-3，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，-5），
根据勾股定理，得PN²=NR²+PR²=m²-4m+104，PE²=PH²+HE²=m²-10m+50，NE²=5²+3²=34，
①当∠PNE=90°时，PN²+NE²=PE²，
解得m=-

44

3

，即N点坐标为（-

44

3

，5）．
②当∠PEN=90°时，PE²+NE²=PN²，
解得m=-

10

3

，即N点坐标为（-

10

3

，5）．
③∵PN＞NR=10＞NE，
∴∠NPE≠90°；
综上所得，当N点坐标为（-

44

3

，5）或（-

10

3

，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．
解：（1）由抛物线C₁：y=a（x-2）²-5得顶点P的坐标为（2，-5）；
∵点A（-1，0）在抛物线C₁上，
∴a（-3）²-5=0，
解得：a=

5

9

．

（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，
∵点P、M关于点A成中心对称，
∴PM过点A，且PA=MA，
∴△PAH≌△MAG，
∴MG=PH=5，AG=AH=3．
∴顶点M的坐标为（-4，5），
∵抛物线C₂与C₁关于x轴对称，抛物线C₃由C₂平移得到，
∴抛物线C₃的表达式y=-

5

9

(x+4)2+5．

（3）∵抛物线C₄由C₁绕x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
由（2）得点N的纵坐标为5，
设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R，
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2AH=6，
∴EG=3，点E坐标为（m-3，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，-5），
根据勾股定理，得PN²=NR²+PR²=m²-4m+104，PE²=PH²+HE²=m²-10m+50，NE²=5²+3²=34，
①当∠PNE=90°时，PN²+NE²=PE²，
解得m=-

44

3

，即N点坐标为（-

44

3

，5）．
②当∠PEN=90°时，PE²+NE²=PN²，
解得m=-

10

3

，即N点坐标为（-

10

3

，5）．
③∵PN＞NR=10＞NE，
∴∠NPE≠90°；
综上所得，当N点坐标为（-

44

3

，5）或（-

10

3

，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．