试题

如图a，已知△PQR中，∠P=120°，PQ=PR，以QR所在直线为x轴，底边上的高PO所在的直线为y轴建立直角坐标系，函数y=

3

9

x2经过PR的中点M．

（1）求点M、P、Q的坐标．
（2）求直线MQ的解析式．
（3）如图b，在y轴的左侧放入一个梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，点C与点Q重合，BC边在x轴上，且BC=8，AD与AB的长恰好是方程x²-8x+16=0的两根，当梯形ABCD以每秒2个单位长度向右平移时，t秒时梯形ABCD与△PQR重合的面积为S，求当0＜t≤10时，S与t的函数关系式．

解：（1）∵∠P=120°，PQ=PR，
∴∠OPQ=60°，OQ=OR，
设OP=a，
则OQ=OR=OP·tan60°=

3

a，
∵M是PR的中点，
∴点M的坐标是（

3

2

a，

1

2

a），
∵函数y=

3

9

x²经过点M，
∴

3

9

（

3

2

a）²=

1

2

a，
解得a=2

3

，
∴点M、P、Q的坐标分别为M（3，

3

），P（0，2

3

），Q（-6，0）；

（2）设直线MQ的解析式为y=kx+b，
则

3k+b= 3 -6k+b=0

，
解得

k= 3 9 b= 2 3 3

，
∴直线MQ的解析式是y=

3

9

x+

2 3

3

；

（3）由x²-8x+16=0可得（x-4）²=0，
解得x₁=x₂=4，
∴AD=AB=4，
过点A作AE∥CD，
则四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=4，AE=DC，
∵BC=8，AB=DC，
∴BE=8-4=4，
∴AB=BE=AE=4，
∴∠B=60°，
∴点A到BC的距离为：4sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴当点B与点Q重合时，点D与点P重合，
①如图1，当0＜t≤4时，重叠部分是三角形，
此时，CQ=2t，
∴

3

3

h+

3

h=CQ，
解得h=

3

4

CQ=

3

2

t，
∴重叠部分的面积为S=

1

2

×CQ·h=

1

2

×2t×

3

2

t=

3

2

t²，
②如图2，当4＜t＜6时，重叠部分是五边形，
此时QB=2t-8，CR=12-2t，
∵∠OPQ=∠OPR=60°，
∴∠PQO=∠PQO=30°，
又∵∠ABC=∠BCD=60°，
∴∠PQO=∠BEQ=30°，∠PRO=∠CFR=30°，
∴BQ=BE，CF=CR，
重叠部分的面积=S_△PQR-S_△BQE-S_△CRF=

1

2

×12×2

3

-

1

2

×（2t-8）×

3

2

（8-2t）-

1

2

×（12-2t）×

3

2

（12-2t），
=12

3

-

3

（t-4）²-

3

（6-t）²，
=-2

3

t²+20

3

t-40

3

；
③如图3，当6≤t≤10时，重叠部分是三角形，
此时CR=2t-12，
∴BR=BC-CR=8-（2t-12）=20-2t，
同①可得h=

3

4

BR=

3

2

（10-t），
∴S=

1

2

×（20-2t）×

3

2

（10-t），
=

3

2

（10-t）²，
=

3

2

t²-10

3

t+50

3

，
综上所述，S与t的函数关系式为S=

3 2 t2(0＜t≤4) -2  3 t2+20 3 t-40 3 (4＜t＜6)  3 2 t2-10 3 t+50 3 (6＜t≤10)

．
解：（1）∵∠P=120°，PQ=PR，
∴∠OPQ=60°，OQ=OR，
设OP=a，
则OQ=OR=OP·tan60°=

3

a，
∵M是PR的中点，
∴点M的坐标是（

3

2

a，

1

2

a），
∵函数y=

3

9

x²经过点M，
∴

3

9

（

3

2

a）²=

1

2

a，
解得a=2

3

，
∴点M、P、Q的坐标分别为M（3，

3

），P（0，2

3

），Q（-6，0）；

（2）设直线MQ的解析式为y=kx+b，
则

3k+b= 3 -6k+b=0

，
解得

k= 3 9 b= 2 3 3

，
∴直线MQ的解析式是y=

3

9

x+

2 3

3

；

（3）由x²-8x+16=0可得（x-4）²=0，
解得x₁=x₂=4，
∴AD=AB=4，
过点A作AE∥CD，
则四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=4，AE=DC，
∵BC=8，AB=DC，
∴BE=8-4=4，
∴AB=BE=AE=4，
∴∠B=60°，
∴点A到BC的距离为：4sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴当点B与点Q重合时，点D与点P重合，
①如图1，当0＜t≤4时，重叠部分是三角形，
此时，CQ=2t，
∴

3

3

h+

3

h=CQ，
解得h=

3

4

CQ=

3

2

t，
∴重叠部分的面积为S=

1

2

×CQ·h=

1

2

×2t×

3

2

t=

3

2

t²，
②如图2，当4＜t＜6时，重叠部分是五边形，
此时QB=2t-8，CR=12-2t，
∵∠OPQ=∠OPR=60°，
∴∠PQO=∠PQO=30°，
又∵∠ABC=∠BCD=60°，
∴∠PQO=∠BEQ=30°，∠PRO=∠CFR=30°，
∴BQ=BE，CF=CR，
重叠部分的面积=S_△PQR-S_△BQE-S_△CRF=

1

2

×12×2

3

-

1

2

×（2t-8）×

3

2

（8-2t）-

1

2

×（12-2t）×

3

2

（12-2t），
=12

3

-

3

（t-4）²-

3

（6-t）²，
=-2

3

t²+20

3

t-40

3

；
③如图3，当6≤t≤10时，重叠部分是三角形，
此时CR=2t-12，
∴BR=BC-CR=8-（2t-12）=20-2t，
同①可得h=

3

4

BR=

3

2

（10-t），
∴S=

1

2

×（20-2t）×

3

2

（10-t），
=

3

2

（10-t）²，
=

3

2

t²-10

3

t+50

3

，
综上所述，S与t的函数关系式为S=

3 2 t2(0＜t≤4) -2  3 t2+20 3 t-40 3 (4＜t＜6)  3 2 t2-10 3 t+50 3 (6＜t≤10)

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