试题

如图，已知⊙M的半径为2cm，圆心角∠AMB=120°，并建立如图所示的直角坐标系．
（1）求圆心M的坐标；
（2）求经过A、B、C三点抛物线的解析式；
（3）点D是位于AB所对的优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积；
（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点P，使△PAB和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意知：∠AMB=120°，
∴∠CMB=60°，∠OBM=30度．（2分）
∴OM=

1

2

MB=1，
∴M（0，1）．（3分）

（2）由A，B，C三点的特殊性与对称性，知经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+c．（4分）
∵OC=MC-MO=1，OB=

MB2-OM2

=

3

，
∴C（0，-1），B（

3

，0）．（5分）
∴c=-1，a=

1

3

．
∴y=

1

3

x²-1．（6分）

（3）∵S_{四边形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD，又S_△ABC与AB均为定值，（7分）
∴当△ABD边AB上的高最大时，S_△ABD最大，此时点D为⊙M与y轴的交点．（8分）
∴S_{四边形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD=

1

2

AB·OC+

1

2

AB·OD
=

1

2

AB·CD
=4

3

cm²．（9分）

（4）假设存在点P，如下图所示：
方法1：
∵△ABC为等腰三角形，∠ABC=30°，

AB

BC

=

3

，
∴△ABC∽△PAB等价于∠PAB=30°，PB=AB=2

3

，PA=

3

PB=6．（10分）
设P（x，y）且x＞0，则x=PA·cos30°-AO=3

3

-

3

=2

3

，y=PA·sin30°=3．（11分）
又∵P（2

3

，3）的坐标满足y=

1

3

x²-1，
∴在抛物线y=

1

3

x²-1上，存在点P（2

3

，3），
使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2

3

，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2

3

，3）或（-2

3

，3）．（12分）
说明：只要求出（2

3

，3），（-2

3

，3），无最后一步不扣分．下面的方法相同．
方法2：
当△ABC∽△PAB时，∠PAB=∠BAC=30°，又由（1）知∠MAB=30°，
∴点P在直线AM上．
设直线AM的解析式为y=kx+b，
将A（-

3

，0），M（0，1）代入，
解得

k= 3 3 b=1

，
∴直线AM的解析式为y=

3

3

x+1．（10分）
解方程组

y= 3 3 x+1 y= 1 3 x2-1

，
得P（2

3

，3）．（11分）
又∵tan∠PBx=

3

2 3 - 3

=

3

，
∴∠PBx=60度．
∴∠P=30°，
∴△ABC∽△PAB．
∴在抛物线y=

1

3

x²-1上，存在点（2

3

，3），使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2

3

，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2

3

，3）或（-2

3

，3）．（12分）
方法3：
∵△ABC为等腰三角形，且

AB

BC

=

3

，
设P（x，y），则△ABC∽△PAB等价于PB=AB=2

3

，PA=

3

AB=6．（10分）
当x＞0时，得

(x- 3 )2+y2 =2 3 (x+ 3 )2+y2 =6

，
解得P（2

3

，3）．（11分）
又∵P（2

3

，3）的坐标满足y=

1

3

x²-1，
∴在抛物线y=

1

3

x²-1上，存在点P（2

3

，3），使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2

3

，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2

3

，3）或（-2

3

，3）．（12分）
解：（1）由题意知：∠AMB=120°，
∴∠CMB=60°，∠OBM=30度．（2分）
∴OM=

1

2

MB=1，
∴M（0，1）．（3分）

（2）由A，B，C三点的特殊性与对称性，知经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+c．（4分）
∵OC=MC-MO=1，OB=

MB2-OM2

=

3

，
∴C（0，-1），B（

3

，0）．（5分）
∴c=-1，a=

1

3

．
∴y=

1

3

x²-1．（6分）

（3）∵S_{四边形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD，又S_△ABC与AB均为定值，（7分）
∴当△ABD边AB上的高最大时，S_△ABD最大，此时点D为⊙M与y轴的交点．（8分）
∴S_{四边形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD=

1

2

AB·OC+

1

2

AB·OD
=

1

2

AB·CD
=4

3

cm²．（9分）

（4）假设存在点P，如下图所示：
方法1：
∵△ABC为等腰三角形，∠ABC=30°，

AB

BC

=

3

，
∴△ABC∽△PAB等价于∠PAB=30°，PB=AB=2

3

，PA=

3

PB=6．（10分）
设P（x，y）且x＞0，则x=PA·cos30°-AO=3

3

-

3

=2

3

，y=PA·sin30°=3．（11分）
又∵P（2

3

，3）的坐标满足y=

1

3

x²-1，
∴在抛物线y=

1

3

x²-1上，存在点P（2

3

，3），
使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2

3

，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2

3

，3）或（-2

3

，3）．（12分）
说明：只要求出（2

3

，3），（-2

3

，3），无最后一步不扣分．下面的方法相同．
方法2：
当△ABC∽△PAB时，∠PAB=∠BAC=30°，又由（1）知∠MAB=30°，
∴点P在直线AM上．
设直线AM的解析式为y=kx+b，
将A（-

3

，0），M（0，1）代入，
解得

k= 3 3 b=1

，
∴直线AM的解析式为y=

3

3

x+1．（10分）
解方程组

y= 3 3 x+1 y= 1 3 x2-1

，
得P（2

3

，3）．（11分）
又∵tan∠PBx=

3

2 3 - 3

=

3

，
∴∠PBx=60度．
∴∠P=30°，
∴△ABC∽△PAB．
∴在抛物线y=

1

3

x²-1上，存在点（2

3

，3），使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2

3

，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2

3

，3）或（-2

3

，3）．（12分）
方法3：
∵△ABC为等腰三角形，且

AB

BC

=

3

，
设P（x，y），则△ABC∽△PAB等价于PB=AB=2

3

，PA=

3

AB=6．（10分）
当x＞0时，得

(x- 3 )2+y2 =2 3 (x+ 3 )2+y2 =6

，
解得P（2

3

，3）．（11分）
又∵P（2

3

，3）的坐标满足y=

1

3

x²-1，
∴在抛物线y=

1

3

x²-1上，存在点P（2

3

，3），使△ABC∽△PAB．
由抛物线的对称性，知点（-2

3

，3）也符合题意．
∴存在点P，它的坐标为（2

3

，3）或（-2

3

，3）．（12分）