试题

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOD为直角梯形，AD∥OB，∠BOD=90°，OB=16，OD=12，AD=21，动点P从点D出发，在线段DA上以每秒2个单位的速度向点A运动，到达A点后即停止，动点Q从点B出发，沿折线B-O-D以每秒1个单位的速度向点D运动，到达点D后停止，点P、Q同时出发，BD与PQ相交于点M，设运动的时间为t秒．
（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）是否存在时间t，使△BMQ为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）当t为何值时？以B、P、Q三点为顶点的三角形的等腰三角形？

解：（1）∵AD∥OB，∠BOD=90°，OB=16，OD=12，AD=21，
∴点A（-21，12），B（-16，0），D（0，12），
设过点A、B、D的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则

441a-21b+c=12 256a-16b+c=0 c=12

，
解得

a= 3 20 b= 63 20 c=12

，
所以，抛物线的解析式为y=

3

20

x²+

63

20

x+12；

（2）∵点P的运动速度是每秒2个单位，点Q的运动速度是每秒1个单位，
∴点P到达点A的时间是21÷2=10.5秒，
点Q到达点O的时间是16÷1=16秒，到达点D的时间是（16+12）÷=28秒，
如图，①点Q在BO上时，BQ=t，∵AD∥OB，∠BOD=90°，
∴点P到BQ的距离等于OD的长度，
∴△BPQ的面积为S=

1

2

BQ·OD=

1

2

t×12=6t（0＜t≤16）；
②点Q在OD上时，点P已经与点A重合，
OQ=t-16，DQ=16+12-t=28-t，
∴△BPQ的面积为S=S_梯形ABOD-S_△BOQ-S_△ADQ，
=

1

2

×（16+21）×12-

1

2

×（t-16）×16-

1

2

×（28-t）×21，
=222-8t+128-294+

21

2

t，
=

5

2

t+56（16≤t≤28）；
综上，S=

6t(0＜t≤16) 5 2 t+56(16≤t≤28)

；

（3）如图，①PQ⊥BQ时，∵四边形ABOD为直角梯形，AD∥OB，∠BOD=90°，
∴四边形PQOD是矩形，
∴OQ=PD，
∴BQ+OQ=BQ+PD=OB，
即t+2t=16，
解得t=

16

3

（秒）；
②PQ⊥BD时，∵∠BOD=90°，OB=16，OD=12，
∴BD=

OB2+OD2

=

162+122

=20，
∵AD∥OB，
∴

DM

BM

=

PD

BQ

=

2t

t

=2，
∴BM=

1

1+2

×20=

20

3

，
cos∠OBD=

20 3

t

=

16

20

，
解得t=

25

3

（秒）；
综上，当t=

16

3

或

25

3

秒时，△BMQ为直角三角形；

（4）如图，①PB=PQ时，过点P作PE⊥BQ于E，则四边形PEOD是矩形，
∴BE=

1

2

BQ=

1

2

t，OE=PD=2t，
∵BE+OE=OB，
∴

1

2

t+2t=16，
解得t=

32

5

（秒），
②PB=BQ时，∵点P到BQ的距离为OD的长度是12，而点P到点A的时间是10.5秒，
∴此时点P早已与到达点A与点A重合，
过点P作PE⊥BQ于E，则PE=OD=12，BE=AD-OB=21-16=5，
根据勾股定理，PB=

PE2+BE2

=

122+52

=13，
∴BQ=PB=13，
∴t=13÷1=13（秒），
综上，当t为

32

5

或13秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形的等腰三角形．
解：（1）∵AD∥OB，∠BOD=90°，OB=16，OD=12，AD=21，
∴点A（-21，12），B（-16，0），D（0，12），
设过点A、B、D的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则

441a-21b+c=12 256a-16b+c=0 c=12

，
解得

a= 3 20 b= 63 20 c=12

，
所以，抛物线的解析式为y=

3

20

x²+

63

20

x+12；

（2）∵点P的运动速度是每秒2个单位，点Q的运动速度是每秒1个单位，
∴点P到达点A的时间是21÷2=10.5秒，
点Q到达点O的时间是16÷1=16秒，到达点D的时间是（16+12）÷=28秒，
如图，①点Q在BO上时，BQ=t，∵AD∥OB，∠BOD=90°，
∴点P到BQ的距离等于OD的长度，
∴△BPQ的面积为S=

1

2

BQ·OD=

1

2

t×12=6t（0＜t≤16）；
②点Q在OD上时，点P已经与点A重合，
OQ=t-16，DQ=16+12-t=28-t，
∴△BPQ的面积为S=S_梯形ABOD-S_△BOQ-S_△ADQ，
=

1

2

×（16+21）×12-

1

2

×（t-16）×16-

1

2

×（28-t）×21，
=222-8t+128-294+

21

2

t，
=

5

2

t+56（16≤t≤28）；
综上，S=

6t(0＜t≤16) 5 2 t+56(16≤t≤28)

；

（3）如图，①PQ⊥BQ时，∵四边形ABOD为直角梯形，AD∥OB，∠BOD=90°，
∴四边形PQOD是矩形，
∴OQ=PD，
∴BQ+OQ=BQ+PD=OB，
即t+2t=16，
解得t=

16

3

（秒）；
②PQ⊥BD时，∵∠BOD=90°，OB=16，OD=12，
∴BD=

OB2+OD2

=

162+122

=20，
∵AD∥OB，
∴

DM

BM

=

PD

BQ

=

2t

t

=2，
∴BM=

1

1+2

×20=

20

3

，
cos∠OBD=

20 3

t

=

16

20

，
解得t=

25

3

（秒）；
综上，当t=

16

3

或

25

3

秒时，△BMQ为直角三角形；

（4）如图，①PB=PQ时，过点P作PE⊥BQ于E，则四边形PEOD是矩形，
∴BE=

1

2

BQ=

1

2

t，OE=PD=2t，
∵BE+OE=OB，
∴

1

2

t+2t=16，
解得t=

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5

（秒），
②PB=BQ时，∵点P到BQ的距离为OD的长度是12，而点P到点A的时间是10.5秒，
∴此时点P早已与到达点A与点A重合，
过点P作PE⊥BQ于E，则PE=OD=12，BE=AD-OB=21-16=5，
根据勾股定理，PB=

PE2+BE2

=

122+52

=13，
∴BQ=PB=13，
∴t=13÷1=13（秒），
综上，当t为

32

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或13秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形的等腰三角形．