试题

已知：抛物线y=ax²+bx+c经过点（-1，1），且对于任意的实数x，有4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4恒成立．
（1）求4a+2b+c的值．
（2）求y=ax²+bx+c的解析式．
（3）设点M（x，y）是抛物线上任一点，点B（0，2），求线段MB的长度的最小值．

解：（1）令x=2，
则4≤4a+2b+c≤4，
∴4a+2b+c=4；

（2）∵抛物线过（-1，1），
∴a-b+c=1，
∴b=1-a，c=2-2a，
而ax²+bx+c≥4x-4恒成立，
∴ax²-（a+3）x+6-2a≥0恒成立，
∴（a+3）²-4a（6-2a）≤0，
即（a-1）²≤0，
∴a=1，
又当a=1时，
x²≤2x²-4x+4恒成立，
∴解析式为y=x²；

（3）设M（x，y），
则MB=

x2+(y-2)2

，
而x²=y，
∴MB=

y2-3y+4

=

(y- 3 2 )2+ 7 4

，
∴当y=

3

2

时，MB的最小值=

7

2

．
解：（1）令x=2，
则4≤4a+2b+c≤4，
∴4a+2b+c=4；

（2）∵抛物线过（-1，1），
∴a-b+c=1，
∴b=1-a，c=2-2a，
而ax²+bx+c≥4x-4恒成立，
∴ax²-（a+3）x+6-2a≥0恒成立，
∴（a+3）²-4a（6-2a）≤0，
即（a-1）²≤0，
∴a=1，
又当a=1时，
x²≤2x²-4x+4恒成立，
∴解析式为y=x²；

（3）设M（x，y），
则MB=

x2+(y-2)2

，
而x²=y，
∴MB=

y2-3y+4

=

(y- 3 2 )2+ 7 4

，
∴当y=

3

2

时，MB的最小值=

7

2

．