试题

如图1，点A、B分别在x轴的原点左、右两边，点C在y轴正半轴，点F（0，-1），S_{四边形AFBC}=15，抛物线y=ax²-2ax+4经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上一点，且tan∠PCA=

3

2

，求出点P的坐标．
（3）如图2，过A、B、C三点作⊙O′交抛物线的对称轴于N，点M为弧BC上一动点（异于B、C），E为MN上一点，且∠EAB=

1

2

∠MNB，ES⊥x轴于S，当M点运动时，问的

ME·NE

ES

值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．

解：（1）由抛物线y=ax²-2ax+4知：对称轴x=1，C（0，4）；
∵S_{四边形AFBC}=S_△ABC+S_△ABF=

1

2

AB（OC+OF）=

1

2

AB（4+1）=15，
∴AB=6；
又∵A、B两点关于x=1对称，且AB=6，
∴A（-2，0）、B（4，0）；
将B（4，0）代入y=ax²-2ax+4中，得：
16a-8a+4=0，解得：a=-

1

2

∴抛物线的解析式：y=-

1

2

x²+x+4．

（2）在△ACF中，OA=2、OF=1、OC=4，即：

OA

OF

=

OC

OA

，
又∵∠COA=∠AOF，
∴△AOC∽△FOA，
∴∠CAO=∠AFO，∠CAF=∠CAO+∠FAO=∠AFO+∠FAO=90°；
延长AF交直线CP于D，如右图1；
在Rt△ADC中，AC=

OC·CF

=2

5

，tan∠DCA=

3

2

，则：AD=3

5

；
又∵tan∠OAF=

OF

OA

=

1

2

，
∴sin∠OAF=

5

5

，cos∠OAF=

2 5

5

；
由AD=3

5

可解得：D（4，-3）；
设直线CD：y=kx+4，代入D点的坐标可得：k=-

7

4

；
联立直线CD和抛物线的解析式，得：

y=- 7 4 x+4 y=- 1 2 x2+x+4

，
解得

x1=0 y1=4

、

x2= 11 2 y2=- 45 8

∴P（

11

2

，-

45

8

）．

（3）设圆心O′的坐标为（1，y），则：O′A²=9+y²、O′C²=1+（y-4）²=y²-8y+17，
∵O′A=O′C，
∴9+y²=y²-8y+17，解得：y=1，
∴⊙O′的半径R=

10

；
延长AE，交⊙O′于点G，如右图2；
∵∠EAB=

1

2

∠MNB，
∴G是

MB

的中点，即：

MG

=

BG

；
过G作⊙O′的直径GH，连接GH、HM、MG，则△HMG是直角三角形，且∠HMG=90°；
∵∠MAG=∠EAS（

MG

=

BG

），∠HMG=∠ESA=90°，
∴△HMG∽△ASE，得：

HG

AE

=

MG

ES

，即：

AE·MG

ES

=HG=2R…①；
连接AM、AN；
∵

MG

=

BG

、

AN

=

BN

，
∴∠GAB=∠MAE，∠AME=∠BAN；
对于△AEM有：∠GEM=∠MAE+∠AME；
又∵∠GMN=∠GAB+∠BAN，
∴∠GEM=∠GMN，即MG=GE，代入①式，得：

AE·GE

ES

=2R=2

10

；
由相交弦定理得：ME·NE=AE·EG，∴

ME·NE

ES

=2

10

；
综上，

ME·NE

ES

值不会发生变化，且值为2

10

．
解：（1）由抛物线y=ax²-2ax+4知：对称轴x=1，C（0，4）；
∵S_{四边形AFBC}=S_△ABC+S_△ABF=

1

2

AB（OC+OF）=

1

2

AB（4+1）=15，
∴AB=6；
又∵A、B两点关于x=1对称，且AB=6，
∴A（-2，0）、B（4，0）；
将B（4，0）代入y=ax²-2ax+4中，得：
16a-8a+4=0，解得：a=-

1

2

∴抛物线的解析式：y=-

1

2

x²+x+4．

（2）在△ACF中，OA=2、OF=1、OC=4，即：

OA

OF

=

OC

OA

，
又∵∠COA=∠AOF，
∴△AOC∽△FOA，
∴∠CAO=∠AFO，∠CAF=∠CAO+∠FAO=∠AFO+∠FAO=90°；
延长AF交直线CP于D，如右图1；
在Rt△ADC中，AC=

OC·CF

=2

5

，tan∠DCA=

3

2

，则：AD=3

5

；
又∵tan∠OAF=

OF

OA

=

1

2

，
∴sin∠OAF=

5

5

，cos∠OAF=

2 5

5

；
由AD=3

5

可解得：D（4，-3）；
设直线CD：y=kx+4，代入D点的坐标可得：k=-

7

4

；
联立直线CD和抛物线的解析式，得：

y=- 7 4 x+4 y=- 1 2 x2+x+4

，
解得

x1=0 y1=4

、

x2= 11 2 y2=- 45 8

∴P（

11

2

，-

45

8

）．

（3）设圆心O′的坐标为（1，y），则：O′A²=9+y²、O′C²=1+（y-4）²=y²-8y+17，
∵O′A=O′C，
∴9+y²=y²-8y+17，解得：y=1，
∴⊙O′的半径R=

10

；
延长AE，交⊙O′于点G，如右图2；
∵∠EAB=

1

2

∠MNB，
∴G是

MB

的中点，即：

MG

=

BG

；
过G作⊙O′的直径GH，连接GH、HM、MG，则△HMG是直角三角形，且∠HMG=90°；
∵∠MAG=∠EAS（

MG

=

BG

），∠HMG=∠ESA=90°，
∴△HMG∽△ASE，得：

HG

AE

=

MG

ES

，即：

AE·MG

ES

=HG=2R…①；
连接AM、AN；
∵

MG

=

BG

、

AN

=

BN

，
∴∠GAB=∠MAE，∠AME=∠BAN；
对于△AEM有：∠GEM=∠MAE+∠AME；
又∵∠GMN=∠GAB+∠BAN，
∴∠GEM=∠GMN，即MG=GE，代入①式，得：

AE·GE

ES

=2R=2

10

；
由相交弦定理得：ME·NE=AE·EG，∴

ME·NE

ES

=2

10

；
综上，

ME·NE

ES

值不会发生变化，且值为2

10

．