试题

已知抛物线y=x²-2（a+b）x+c²，其中a，b，c分别是三角形ABD的三边．
①求证：该抛物线与x轴必有两个交点；
②如图，设直线y=2ax-3

2

ac与抛物线交于E、F，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线对称轴为直线x=2a，△MNE与△MNF面积之比为2：1，求证：△ABC为等腰直角三角形；
③在②的条件下，当S_△ABC=2时，设抛物线与x轴交于P、Q，问：是否存在过P、Q两点，且与Y轴相切的圆？若存在，求圆心的坐标；若不存在，说明理由．

①证明：△=b²-4ac=[-2（a+b）]²-4×1×c²=4[（a+b）²-c²]，
∵a+b＞c（三角形任意两边之和大于第三边），
∴△＞0，
∴抛物线与x轴必有两个交点；

②证明：抛物线对称轴为直线x=-

b

2a

=-

-2(a+b)

2×1

=2a，
解得a=b，
∴△ABC为等腰三角形，
直线与抛物线解析式联立得，

y=x2-2(a+b)x+c2 y=2ax-3 2 ac

，
即x²-2（a+b）x+c²=2ax-3

2

ac，
整理得，x²-6ax+c²+3

2

ac=0，
∵△MNE与△MNF面积之比为2：1，
∴点E到MN的距离等于点F到MN的距离的2倍，
即点E的横坐标是点F的横坐标的2倍，
设点F的横坐标是x，则点E的横坐标是2x，
∴x+2x=6a，
解得x=2a，2x=4a，
∴x·2x=2a·4a=c²+3

2

ac，
整理得c²+3

2

ac-8a²=0，
解得c=

2

a，c=-4

2

a（舍去），
∴a²+b²=2a²=c²，
∴△ABC为直角三角形，
故△ABC为等腰直角三角形；

③解：存在．
理由如下：S_△ABC=

1

2

×a×b=

1

2

×a×a=2，
∴a=b=2，
∴c=

2

a=2

2

，
∴抛物线解析式为y=x²-2（a+b）x+c²=x²-8x+8，
∴PQ=

(x1+x2)2-4x1x2

=

64-4×8

=4

2

，
∵圆与y轴相切，
∴半径r=2a=2×2=4，
∴弦心距=

42-(2 2 )2

=2

2

，
∴存在过P、Q两点，且与y轴相切的圆，圆心（4，2

2

）或（4，-2

2

）．
①证明：△=b²-4ac=[-2（a+b）]²-4×1×c²=4[（a+b）²-c²]，
∵a+b＞c（三角形任意两边之和大于第三边），
∴△＞0，
∴抛物线与x轴必有两个交点；

②证明：抛物线对称轴为直线x=-

b

2a

=-

-2(a+b)

2×1

=2a，
解得a=b，
∴△ABC为等腰三角形，
直线与抛物线解析式联立得，

y=x2-2(a+b)x+c2 y=2ax-3 2 ac

，
即x²-2（a+b）x+c²=2ax-3

2

ac，
整理得，x²-6ax+c²+3

2

ac=0，
∵△MNE与△MNF面积之比为2：1，
∴点E到MN的距离等于点F到MN的距离的2倍，
即点E的横坐标是点F的横坐标的2倍，
设点F的横坐标是x，则点E的横坐标是2x，
∴x+2x=6a，
解得x=2a，2x=4a，
∴x·2x=2a·4a=c²+3

2

ac，
整理得c²+3

2

ac-8a²=0，
解得c=

2

a，c=-4

2

a（舍去），
∴a²+b²=2a²=c²，
∴△ABC为直角三角形，
故△ABC为等腰直角三角形；

③解：存在．
理由如下：S_△ABC=

1

2

×a×b=

1

2

×a×a=2，
∴a=b=2，
∴c=

2

a=2

2

，
∴抛物线解析式为y=x²-2（a+b）x+c²=x²-8x+8，
∴PQ=

(x1+x2)2-4x1x2

=

64-4×8

=4

2

，
∵圆与y轴相切，
∴半径r=2a=2×2=4，
∴弦心距=

42-(2 2 )2

=2

2

，
∴存在过P、Q两点，且与y轴相切的圆，圆心（4，2

2

）或（4，-2

2

）．