试题

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x₁，0），B（x₂，0）（A在B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．如果x₁+x₂=1，x₁·x₂=-6，且△ABC的面积为

15

2

．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）如果P是线段AC上一个动点（不与A、C重合），过点P作直线y=m（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

解：根据题意画出图形如下所示：

（1）A（-2，O），B（3，0），
S_△ABC=

15

2

，
∴c=3，C（0，3）．
∴抛物线的解析式是y=-

1

2

x²+

1

2

x+3．

（2）假设存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点为E（0，m），
由（1），知AB=5，OC=3．
点P不与点A、C重合，
∴点E（0，m）不与点O、C重合．
∴0＜m＜3．
由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰，
过点P作PR₁⊥x轴于点R₁，则∠R₁PQ=90°，PQ=PR₁=m．
即（3-m）-

2m-6

3

=m，
解得m=

15

8

．
∴P（x_P，

15

8

），Q（x_Q，

15

8

），
点P在直线AC上，
解得x_P=-

3

4

，P（-

3

4

，

15

8

）．
∴点R₁（-

3

4

，0）．
过点Q作QR₂⊥x轴于R₂，
同理可求得x_Q=

9

8

，Q（

9

8

，

15

8

）．
∴点R₂（

9

8

，0）．验证成立，
∴R₁（-

3

4

，0）、R₂（

9

8

，0）是满足条件的点．
解：根据题意画出图形如下所示：

（1）A（-2，O），B（3，0），
S_△ABC=

15

2

，
∴c=3，C（0，3）．
∴抛物线的解析式是y=-

1

2

x²+

1

2

x+3．

（2）假设存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点为E（0，m），
由（1），知AB=5，OC=3．
点P不与点A、C重合，
∴点E（0，m）不与点O、C重合．
∴0＜m＜3．
由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰，
过点P作PR₁⊥x轴于点R₁，则∠R₁PQ=90°，PQ=PR₁=m．
即（3-m）-

2m-6

3

=m，
解得m=

15

8

．
∴P（x_P，

15

8

），Q（x_Q，

15

8

），
点P在直线AC上，
解得x_P=-

3

4

，P（-

3

4

，

15

8

）．
∴点R₁（-

3

4

，0）．
过点Q作QR₂⊥x轴于R₂，
同理可求得x_Q=

9

8

，Q（

9

8

，

15

8

）．
∴点R₂（

9

8

，0）．验证成立，
∴R₁（-

3

4

，0）、R₂（

9

8

，0）是满足条件的点．