试题

（2013·梧州模拟）如图，已知直线y=-

1

2

x+1交坐标轴于A，B 两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．
（1）请直接写出点C，D的坐标； 
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒

5

个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

解：（1）∵直线y=-

1

2

x+1，
∴当x=0时，y=1，当y=0时，x=2，
∴OA=1，OB=2，
过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ABC=∠AOB=∠CZB=90°，
∴∠ABO+∠CBZ=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBZ，
在△AOB和△BZC中

∠OAB=∠ZBC ∠AOB=∠BZC AB=BC

，
∴△AOB≌△BZC（AAS），
∴OA=BZ=1，OB=CZ=2，
∴C（3，2），
同理可求D的坐标是（1，3）；

（2）设抛物线为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过A（0，1），D（1，3），C（3，2），
∴

c=1 a+b+c=3 9a+3b+c=2

，
解得：a=-

5

6

，b=

17

6

，c=1，
∴抛物线的解析式为y=-

5

6

x²+

17

6

x+1；

（3）∵OA=1，OB=2，
∴由勾股定理得：AB=

5

，
①当点A运动到x轴上点F时，t=1，
当0＜t≤1时，如图1，
∵∠OFA=∠GFB′，tan∠OFA=

OA

OF

=

1

2

，
∴tan∠GFB′=

GB′

FB′

=

GB′

5 t

=

1

2

，
∴GB′=

5

2

t，
∴S_△FB′G=

1

2

FB′×GB′=

1

2

·

5

t·

5

2

t，
∴S=

5

4

t²；
②当点C运动x轴上时，t=2，
当1＜t≤2时，如图2，
∵AB=A′B′=

5

，
∴A′F=

5

t-

5

，
∴A′G=

5 t- 5

2

，
∵B′H=

5

2

t，
∴S_{四边形A′B′HG}=

1

2

（A′G+B′H）·A′B′=

1

2

·（

5 t- 5

2

+

5

2

t）·

5

，
∴S=

5

2

t-

5

4

；
③当点D运动到x轴上时，t=3，
当2＜t≤3时，如图3，
∵A′G=

5 t- 5

2

，
∴GD′=

5

-

5 t- 5

2

=

3 5 - 5 t

2

，
∵S_△AOF=

1

2

×2×1=1，OA=1，∠AOF=∠FA′G=90°，∠AFO=∠GFA′，
∴△AOF∽△GA′F，
∴

S△GA′F

S△AOF

=（

GD′

OA

）²，
∴S_△GA′F=（

3 5 - 5 t

2

）²，
∴S_{五边形GA′B′CH}=（

5

）²-（

3 5 - 5 t

2

）²，
∴S=-

5

4

t²+

15

2

t-

25

4

．
解：（1）∵直线y=-

1

2

x+1，
∴当x=0时，y=1，当y=0时，x=2，
∴OA=1，OB=2，
过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ABC=∠AOB=∠CZB=90°，
∴∠ABO+∠CBZ=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBZ，
在△AOB和△BZC中

∠OAB=∠ZBC ∠AOB=∠BZC AB=BC

，
∴△AOB≌△BZC（AAS），
∴OA=BZ=1，OB=CZ=2，
∴C（3，2），
同理可求D的坐标是（1，3）；

（2）设抛物线为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过A（0，1），D（1，3），C（3，2），
∴

c=1 a+b+c=3 9a+3b+c=2

，
解得：a=-

5

6

，b=

17

6

，c=1，
∴抛物线的解析式为y=-

5

6

x²+

17

6

x+1；

（3）∵OA=1，OB=2，
∴由勾股定理得：AB=

5

，
①当点A运动到x轴上点F时，t=1，
当0＜t≤1时，如图1，
∵∠OFA=∠GFB′，tan∠OFA=

OA

OF

=

1

2

，
∴tan∠GFB′=

GB′

FB′

=

GB′

5 t

=

1

2

，
∴GB′=

5

2

t，
∴S_△FB′G=

1

2

FB′×GB′=

1

2

·

5

t·

5

2

t，
∴S=

5

4

t²；
②当点C运动x轴上时，t=2，
当1＜t≤2时，如图2，
∵AB=A′B′=

5

，
∴A′F=

5

t-

5

，
∴A′G=

5 t- 5

2

，
∵B′H=

5

2

t，
∴S_{四边形A′B′HG}=

1

2

（A′G+B′H）·A′B′=

1

2

·（

5 t- 5

2

+

5

2

t）·

5

，
∴S=

5

2

t-

5

4

；
③当点D运动到x轴上时，t=3，
当2＜t≤3时，如图3，
∵A′G=

5 t- 5

2

，
∴GD′=

5

-

5 t- 5

2

=

3 5 - 5 t

2

，
∵S_△AOF=

1

2

×2×1=1，OA=1，∠AOF=∠FA′G=90°，∠AFO=∠GFA′，
∴△AOF∽△GA′F，
∴

S△GA′F

S△AOF

=（

GD′

OA

）²，
∴S_△GA′F=（

3 5 - 5 t

2

）²，
∴S_{五边形GA′B′CH}=（

5

）²-（

3 5 - 5 t

2

）²，
∴S=-

5

4

t²+

15

2

t-

25

4

．