试题

（2003·哈尔滨）已知：抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最高点的纵坐标为4，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若△ABC的外接圆⊙O′交y轴不同于点c的点D′，⊙O′的弦DE平行于x轴，求直线CE的解析式；
（3）在x轴上是否存在点F，使△OCF与△CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标，并判定直线CF与⊙O’的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由．

（1）解：由对称性可知抛物线的最高点的横坐标是3，所以抛物线的最高点坐标为（3，4）
∴

a+b+c=0 25a+5b+c=0 9a+3b+c=4

解得

a=-1 b=6 c=-5

．
所以抛物线解析式为y=-x²+6x-5．

（2）如图，∵C（0，-5），
∴OC=5，
∵OA·OB=OD·OC，
∴1×5=OD×5
∴OD=1
∵直线x=3垂直平分DE，
∴DE=6．
∵DE∥x轴，
∴E（6，-1）
设直线CE的解析式为y=kx+b．
∴

-1=6k+b b=-5

解得

k= 2 3 b=-5

故直线CE解析式为y=

2

3

x-5．

（3）假设存在点F，使△CDE与△COF相似．
∵DE∥AB，
∴∠CDE=90°
∵∠COF=90°
∵∠CDE=∠COF∴△DCE∽△COF或△CDE∽△FOC
当△CDE∽△COF时，

DE

OF

=

CD

OC

，所以OF=

15

2

．
当△CDE∽△FOC时，

DE

OC

=

CD

OF

，所以OF=

10

3

．
所以存在点F，使△CDE与△COF相似．其坐标为F₁（

15

2

，0），F₂（-

15

2

，0）
F₃（

10

3

，0），F₄（-

10

3

，0）
∵∠OCF₄=∠CED，
∴∠ECF₄=90°
所以直线CF₄与⊙O'相切
∵∠CDE=90°
∴直线CF₁经过圆心O′，
∴直线CF₁与⊙O'相交，
∴点F₃在线段OB上
∴∠F₃CE为锐角，做OH'⊥CF₃，垂足为H，所以O′H＜O′C．
∴直线CF₃与⊙O′相交，同理直线CF₂与⊙O′相交．
故直线CF₄与⊙O′相切，直线CF₁、CF₂、CF₃都与⊙O′相交．
（1）解：由对称性可知抛物线的最高点的横坐标是3，所以抛物线的最高点坐标为（3，4）
∴

a+b+c=0 25a+5b+c=0 9a+3b+c=4

解得

a=-1 b=6 c=-5

．
所以抛物线解析式为y=-x²+6x-5．

（2）如图，∵C（0，-5），
∴OC=5，
∵OA·OB=OD·OC，
∴1×5=OD×5
∴OD=1
∵直线x=3垂直平分DE，
∴DE=6．
∵DE∥x轴，
∴E（6，-1）
设直线CE的解析式为y=kx+b．
∴

-1=6k+b b=-5

解得

k= 2 3 b=-5

故直线CE解析式为y=

2

3

x-5．

（3）假设存在点F，使△CDE与△COF相似．
∵DE∥AB，
∴∠CDE=90°
∵∠COF=90°
∵∠CDE=∠COF∴△DCE∽△COF或△CDE∽△FOC
当△CDE∽△COF时，

DE

OF

=

CD

OC

，所以OF=

15

2

．
当△CDE∽△FOC时，

DE

OC

=

CD

OF

，所以OF=

10

3

．
所以存在点F，使△CDE与△COF相似．其坐标为F₁（

15

2

，0），F₂（-

15

2

，0）
F₃（

10

3

，0），F₄（-

10

3

，0）
∵∠OCF₄=∠CED，
∴∠ECF₄=90°
所以直线CF₄与⊙O'相切
∵∠CDE=90°
∴直线CF₁经过圆心O′，
∴直线CF₁与⊙O'相交，
∴点F₃在线段OB上
∴∠F₃CE为锐角，做OH'⊥CF₃，垂足为H，所以O′H＜O′C．
∴直线CF₃与⊙O′相交，同理直线CF₂与⊙O′相交．
故直线CF₄与⊙O′相切，直线CF₁、CF₂、CF₃都与⊙O′相交．