试题

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0．
（1）求证：两函数的图象相交于不同的两点A、B；
（2）求线段AB在x轴上的射影A₁B₁长的取值范围．

解：（1）联立方程得：ax²+2bx+c=0，
△=4（a²+ac+c²），
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0，
∴△＞0，
∴两函数的图象相交于不同的两点；

（2）设方程的两根为x₁，x₂，则
|A₁B₁|²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，
=（-

2b

a

）²-

4c

a

=

4b2-4ac

a2

=

4(-a-c)2-4ac

a2

，
=4[（

c

a

）²+

c

a

+1]，
=4[（

c

a

+

1

2

）²+

3

4

]，
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞-（a+c）＞c，a＞0，
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

，
此时3＜A₁B₁²＜12，
∴

3

＜|A₁B₁|＜2

3

．
解：（1）联立方程得：ax²+2bx+c=0，
△=4（a²+ac+c²），
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0，
∴△＞0，
∴两函数的图象相交于不同的两点；

（2）设方程的两根为x₁，x₂，则
|A₁B₁|²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，
=（-

2b

a

）²-

4c

a

=

4b2-4ac

a2

=

4(-a-c)2-4ac

a2

，
=4[（

c

a

）²+

c

a

+1]，
=4[（

c

a

+

1

2

）²+

3

4

]，
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞-（a+c）＞c，a＞0，
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

，
此时3＜A₁B₁²＜12，
∴

3

＜|A₁B₁|＜2

3

．