试题

如图，已知二次函数的图象是经过A（1，0），B（3，0），E（0，6）三点的一条抛
物线．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）设该抛物线的顶点为C，对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在这样的点P，使以点A、0、P为顶点的三角形与△ACD相似但不全等？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设Q为直线CD上一动点，S点的坐标为（-1，0），ST为以Q为圆心，QA为半径的⊙Q的切线，T为切点，试问：当点Q在直线CD上移动时，切线ST的长是否发生变化？试证明你的结论．

（1）解：由题意可设二次函数的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
又抛物线过点E（0，6）
∴6=a×（-1）×（-3）
解得：a=2，
故所求二次函数的解析式为：y=2（x-1）（x-3）=2x²-8x+6；

（2）解：由y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2，
可知顶点C的坐标为（2，-2），
点D的坐标为（2，0），
CD=2，AD=1 则

CD

DA

=2，
设在y轴上存在点P（0，y），
若△OAP与△ACD相似且不全等，
则

OP

OA

=

CD

DA

=2或

OP

OA

=

DA

CD

=

1

2

，
当OP=2OA时，△OAP≌△DAC，不合题意，
当OP=

1

2

OA时，即OP=

1

2

时，△OAP与△DCA相似，
OP=|y|，
∴|y|=

1

2

，
解得：y=±

1

2

，
∴符合条件的点有两个：P₁（0，

1

2

），P₂（0，-

1

2

）；
              
（3）当点Q在直线CD上移动时，切线ST的长不发生变化；
理由：连接QS，QT．
∵抛物线的对称轴CD为直线x=2，
点Q为直线x=2上的动点，设点Q的坐标为（2，q）
∴QA=

(2-1)2+q2

=

1+q2

，
QS=

(2+1)2+q2

=

9+q2

，
T为直线ST与⊙Q的切点，∴QT=QA=

1+q2

，
Rt△STQ中，ST²=SQ²-TQ²=（9+q²）-（1+q²）=8，
∴ST=

8

=2

2

（常数）
∴点Q在直线CD上移动时，切线ST的长为常数2

2

．
（1）解：由题意可设二次函数的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
又抛物线过点E（0，6）
∴6=a×（-1）×（-3）
解得：a=2，
故所求二次函数的解析式为：y=2（x-1）（x-3）=2x²-8x+6；

（2）解：由y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2，
可知顶点C的坐标为（2，-2），
点D的坐标为（2，0），
CD=2，AD=1 则

CD

DA

=2，
设在y轴上存在点P（0，y），
若△OAP与△ACD相似且不全等，
则

OP

OA

=

CD

DA

=2或

OP

OA

=

DA

CD

=

1

2

，
当OP=2OA时，△OAP≌△DAC，不合题意，
当OP=

1

2

OA时，即OP=

1

2

时，△OAP与△DCA相似，
OP=|y|，
∴|y|=

1

2

，
解得：y=±

1

2

，
∴符合条件的点有两个：P₁（0，

1

2

），P₂（0，-

1

2

）；
              
（3）当点Q在直线CD上移动时，切线ST的长不发生变化；
理由：连接QS，QT．
∵抛物线的对称轴CD为直线x=2，
点Q为直线x=2上的动点，设点Q的坐标为（2，q）
∴QA=

(2-1)2+q2

=

1+q2

，
QS=

(2+1)2+q2

=

9+q2

，
T为直线ST与⊙Q的切点，∴QT=QA=

1+q2

，
Rt△STQ中，ST²=SQ²-TQ²=（9+q²）-（1+q²）=8，
∴ST=

8

=2

2

（常数）
∴点Q在直线CD上移动时，切线ST的长为常数2

2

．