试题

如图，抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求A点坐标并求抛物线的解析式；
（3）若点P在x轴下方且在抛物线对称轴上的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）y=ax²-5ax+4，
对称轴：x=-

-5a

2a

=

5

2

；

（2）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y上，且AC=BC，
令x=0，y=4，可知C点坐标（0，4），
BC∥x轴，所以B点纵坐标也为4，
又∵BC两点关于对称轴x=

5

2

对称，
即：

xB+0

2

=

5

2

，
x_B=5，
∴B点坐标（5，4）．
A点在x轴上，设A点坐标（m，0），
AC=BC，即AC²=BC²，
AC²=4²+m²，
BC=5，
∴4²+m²=5²，
∴m=±3，
∴A点坐标（-3，0），
将A点坐标之一（-3，0）代入y=ax²-5ax+4，
0=9a+15a+4，
a=-

1

6

，
y=-

1

6

x²+

5

6

x+4；
将A点坐标是（3，0），则与A在x轴的负半轴矛盾，故舍去．
故函数关系式为：y=-

1

6

x²+

5

6

x+4．

（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．
过点B作BQ⊥x轴于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=

5

2

．
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P₁AB．
∴AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80（8分）
在Rt△ANP₁中，P₁N=

AP12-AN2

=

AB2-AN2

=

80-(5.5)2

=

199

2

，
∴P₁（

5

2

，-

199

2

）．（9分）
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中MP₂=

B P 2 2 -BM2

=

AB2-BM2

=

80- 25 4

=

295

2

，（10分）
∴P₂=（

5

2

，

8- 295

2

）．（11分）
③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P₃AB．
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P₃，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．
过点P₃作P₃K垂直y轴，垂足为K，显然Rt△P₃CK∽Rt△BAQ．
∴

P3K

CK

=

BQ

AQ

=

1

2

．
∵P₃K=2.5
∴CK=5于是OK=1，（13分）
∴P₃（2.5，-1）．
④以B为顶点时，交于x轴上方，求得P（

5

2

，

8+ 295

2

）（舍去）．
解：（1）y=ax²-5ax+4，
对称轴：x=-

-5a

2a

=

5

2

；

（2）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y上，且AC=BC，
令x=0，y=4，可知C点坐标（0，4），
BC∥x轴，所以B点纵坐标也为4，
又∵BC两点关于对称轴x=

5

2

对称，
即：

xB+0

2

=

5

2

，
x_B=5，
∴B点坐标（5，4）．
A点在x轴上，设A点坐标（m，0），
AC=BC，即AC²=BC²，
AC²=4²+m²，
BC=5，
∴4²+m²=5²，
∴m=±3，
∴A点坐标（-3，0），
将A点坐标之一（-3，0）代入y=ax²-5ax+4，
0=9a+15a+4，
a=-

1

6

，
y=-

1

6

x²+

5

6

x+4；
将A点坐标是（3，0），则与A在x轴的负半轴矛盾，故舍去．
故函数关系式为：y=-

1

6

x²+

5

6

x+4．

（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．
过点B作BQ⊥x轴于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=

5

2

．
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P₁AB．
∴AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80（8分）
在Rt△ANP₁中，P₁N=

AP12-AN2

=

AB2-AN2

=

80-(5.5)2

=

199

2

，
∴P₁（

5

2

，-

199

2

）．（9分）
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中MP₂=

B P 2 2 -BM2

=

AB2-BM2

=

80- 25 4

=

295

2

，（10分）
∴P₂=（

5

2

，

8- 295

2

）．（11分）
③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P₃AB．
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P₃，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．
过点P₃作P₃K垂直y轴，垂足为K，显然Rt△P₃CK∽Rt△BAQ．
∴

P3K

CK

=

BQ

AQ

=

1

2

．
∵P₃K=2.5
∴CK=5于是OK=1，（13分）
∴P₃（2.5，-1）．
④以B为顶点时，交于x轴上方，求得P（

5

2

，

8+ 295

2

）（舍去）．