试题

已知a，b，c是正实数，抛物线y=x²-2ax+b²交x轴于M，N两点，交y轴于点P，其中点M坐标为（a+c，0）
（1）求证b²+c²=a²；
（2）△NMP的面积是△NOP的面积的3倍，求

b

a

的值；
（3）是否存在这样的正实数a，b，c，使得∠OPN=∠NMP=30°？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）把x=a+c，y=0代入y=x²-2ax+b²，
得（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，
整理，得b²+c²=a²；

（2）∵抛物线y=x²-2ax+b²的对称轴是x=a，
∴抛物线y=x²-2ax+b²与x轴的交点M，N一定关于对称轴对称，a-c
∵点M坐标为（a+c，0），
∴N的坐标是（a-c，0）．
抛物线y=x²-2ax+b²中，令x=0，解得y=b²，
∴点P的坐标是（0，b²）．
∵△NMP的面积是

1

2

MN×OP=

1

2

×2c×b²=b²c，
△NOP的面积是

1

2

×ON×OP=

1

2

|a-c|×b²，
又∵△NMP的面积是△NOP的面积的3倍，
∴b²c=3×

1

2

|a-c|×b²，
∴2c=3|a-c|，
∵b²+c²=a²，a、b、c是正实数，
∴a＞c，
∴2c=3（a-c），即3a=5c，
设a=5k，则c=3k，
根据b²+c²=a²，得到b=4k，
∴

b

a

=

4k

5k

=

4

5

；

（3）假设存在正实数a，b，c，使得∠OPN=∠NMP=30°．
则有：

a-c b2 = 3 3 ① b2 a+c = 3 3 ② b2+c2=a2③

，
解得

a= 2 3 3 b=1 c= 3 3

．
故存在正实数a，b，c，能够使得∠OPN=∠NMP=30°．
解：（1）把x=a+c，y=0代入y=x²-2ax+b²，
得（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，
整理，得b²+c²=a²；

（2）∵抛物线y=x²-2ax+b²的对称轴是x=a，
∴抛物线y=x²-2ax+b²与x轴的交点M，N一定关于对称轴对称，a-c
∵点M坐标为（a+c，0），
∴N的坐标是（a-c，0）．
抛物线y=x²-2ax+b²中，令x=0，解得y=b²，
∴点P的坐标是（0，b²）．
∵△NMP的面积是

1

2

MN×OP=

1

2

×2c×b²=b²c，
△NOP的面积是

1

2

×ON×OP=

1

2

|a-c|×b²，
又∵△NMP的面积是△NOP的面积的3倍，
∴b²c=3×

1

2

|a-c|×b²，
∴2c=3|a-c|，
∵b²+c²=a²，a、b、c是正实数，
∴a＞c，
∴2c=3（a-c），即3a=5c，
设a=5k，则c=3k，
根据b²+c²=a²，得到b=4k，
∴

b

a

=

4k

5k

=

4

5

；

（3）假设存在正实数a，b，c，使得∠OPN=∠NMP=30°．
则有：

a-c b2 = 3 3 ① b2 a+c = 3 3 ② b2+c2=a2③

，
解得

a= 2 3 3 b=1 c= 3 3

．
故存在正实数a，b，c，能够使得∠OPN=∠NMP=30°．