试题

如图，已知抛物线经过原点O和x轴上的另一点E，顶点为M（2，4），矩形ABCD的顶点A与O重合，AD，AB分别在x，y轴上，且AD=2，AB=3．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）现将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从左图所示位置沿x轴的正方向匀速平行移动；同时AB上一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速运动，设它们的运动时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与抛物线的交点为N，设多边形PNCD的面积为S，试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

解：（1）由抛物线的顶点为M（2，4），
设其对应的函数解析式为：y=a（x-2）²+4，
代入（0，0）得a=-1，
故所求解析式为：y=-x²+4x；

（2）∵将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从左图所示位置沿x轴的正方向匀速平行移动；
同时AB上一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速运动，设它们的运动时间为t秒，
依题意，点P的坐标为：（t，t），点N的坐标为：（t，-t²+4t），
故PN=-t²+3t，
则有：当PN=0，
即t=0或t=3时，分别如图1，2，
P、N、C、D所构成的多边形为三角形，
此时S=

1

2

DC·AD=

1

2

×3×2=3，
当PN≠0时，如图3，
P、N、C、D四点所构成的多边形是四边形，
因为PN∥CD，AD⊥DC，
∴S=

1

2

（CD+PN）·AD，
=

1

2

[3+（-t²+3t）]×2，
=-t²+3t+3，
=-（t-

3

2

）²+

21

4

（0≤t≤3），
所以当t=

3

2

时，S最大=

21

4

＞3，
综上可知P、N、C、D所构成的多边形的面积S有最大值，这个最大值为：

21

4

．
解：（1）由抛物线的顶点为M（2，4），
设其对应的函数解析式为：y=a（x-2）²+4，
代入（0，0）得a=-1，
故所求解析式为：y=-x²+4x；

（2）∵将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从左图所示位置沿x轴的正方向匀速平行移动；
同时AB上一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速运动，设它们的运动时间为t秒，
依题意，点P的坐标为：（t，t），点N的坐标为：（t，-t²+4t），
故PN=-t²+3t，
则有：当PN=0，
即t=0或t=3时，分别如图1，2，
P、N、C、D所构成的多边形为三角形，
此时S=

1

2

DC·AD=

1

2

×3×2=3，
当PN≠0时，如图3，
P、N、C、D四点所构成的多边形是四边形，
因为PN∥CD，AD⊥DC，
∴S=

1

2

（CD+PN）·AD，
=

1

2

[3+（-t²+3t）]×2，
=-t²+3t+3，
=-（t-

3

2

）²+

21

4

（0≤t≤3），
所以当t=

3

2

时，S最大=

21

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＞3，
综上可知P、N、C、D所构成的多边形的面积S有最大值，这个最大值为：

21

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