试题

如图，抛物线y=a（x+1）（x-4）的图象与直线y=

1

3

x-2相交于A、B两点，且该直线与x轴交于点P，交y轴于点A．
（1）求a的值；
（2）若过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；
（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图1，因为一次函数y=

1

3

x-2交y轴于点A，所以，令x=0，解得y=-2，
即：A（0，-2），交x轴于点P，
所以，P（6，0）
将A（0，-2）代入y=a（x+1）（x-4）得a=

1

2

，
∴抛物线的解析式是：y=

1

2

（x+1）（x-4）=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）如图1，∵AC⊥AB，OA⊥PO
∴在Rt△CAP中，
由射影定理得：AO²=CO·OP，
∴2²=6×CO，
∴CO=

2

3

∴点C的坐标为（

2

3

，0）；

（3）设除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得△MAB是直角三角形，
Ⅰ．如图2，在Rt△MAB中，若∠AMB=90°，
①若交点在y轴上，设M（0，m），
则有m=y_B，
联立

y= 1 3 x-2 y= 1 2 x2- 3 2 x-2

得：

x1=0 y1=-2

，

x2= 11 3 y2=- 7 9

∴B点的坐标为（

11

3

，-

7

9

）
此时M（0，-

7

9

）
②若交点在x轴上（如图3），设M（n，0），此时过B作BD垂直x轴于点D，
则有△AOM∽△MDB，于是：

AM

MD

=

OM

DB

即：

2

11 3 -n

=

n

7 9

，整理得：9n²-33n+14=0
解得：n=

11+ 65

6

或n=

11- 65

6

∴M（

11+ 65

6

，0）或（

11- 65

6

，0）
Ⅱ在Rt△MAB中，若∠ABM=90°，如图4，设M（t，0），同时过B作BD垂直x轴于点D，
在Rt△PBM中，由射影定理得：BD²=MD·DP
∴（

7

9

）²=（

11

3

-t）（6-

11

3

）
∴t=

92

27

此时：M（

92

27

，0）；
解：（1）如图1，因为一次函数y=

1

3

x-2交y轴于点A，所以，令x=0，解得y=-2，
即：A（0，-2），交x轴于点P，
所以，P（6，0）
将A（0，-2）代入y=a（x+1）（x-4）得a=

1

2

，
∴抛物线的解析式是：y=

1

2

（x+1）（x-4）=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）如图1，∵AC⊥AB，OA⊥PO
∴在Rt△CAP中，
由射影定理得：AO²=CO·OP，
∴2²=6×CO，
∴CO=

2

3

∴点C的坐标为（

2

3

，0）；

（3）设除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得△MAB是直角三角形，
Ⅰ．如图2，在Rt△MAB中，若∠AMB=90°，
①若交点在y轴上，设M（0，m），
则有m=y_B，
联立

y= 1 3 x-2 y= 1 2 x2- 3 2 x-2

得：

x1=0 y1=-2

，

x2= 11 3 y2=- 7 9

∴B点的坐标为（

11

3

，-

7

9

）
此时M（0，-

7

9

）
②若交点在x轴上（如图3），设M（n，0），此时过B作BD垂直x轴于点D，
则有△AOM∽△MDB，于是：

AM

MD

=

OM

DB

即：

2

11 3 -n

=

n

7 9

，整理得：9n²-33n+14=0
解得：n=

11+ 65

6

或n=

11- 65

6

∴M（

11+ 65

6

，0）或（

11- 65

6

，0）
Ⅱ在Rt△MAB中，若∠ABM=90°，如图4，设M（t，0），同时过B作BD垂直x轴于点D，
在Rt△PBM中，由射影定理得：BD²=MD·DP
∴（

7

9

）²=（

11

3

-t）（6-

11

3

）
∴t=

92

27

此时：M（

92

27

，0）；